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MÉCANIQUE CÉLESTE.

des deux hémisphères terrestres. Il prend, parle n^o  46 du Livre II, un signe contraire dans l’expression de $\mathrm {R}$, où il devient

$-\mathrm {H} ^{(3)}{\frac {\mathrm {D} ^{3}}{r^{4}}}\left(\mu ^{3}-{\frac {3}{5}}\mu \right).$

En désignant par $s$ la tangente de la latitude de la Lune, par $f\upsilon$ sa longitude vraie rapportée à l’écliptique et comptée de l’équinoxe mobile du printemps, et par $\lambda$ l’obliquité de l’écliptique, on a

$\mu ={\frac {\sin \lambda \sin f\upsilon +s\cos \lambda }{\left(1+s^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}},$

ce qui produit dans la fonction $\mu ^{3}-{\frac {3}{5}}\mu$ le terme

${\frac {-\sin ^{3}\lambda \sin 3f\upsilon }{4\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

C’est le seul terme de cette fonction auquel nous devions avoir égard ici. En faisant donc

$k=\mathrm {\frac {H^{(3)}D^{3}\sin ^{3}\lambda }{4}} ,$

on aura, dans l’expression de $\mathrm {R}$, le terme

${\frac {k\sin 3f\upsilon }{\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}r^{4}}}.$

On peut observer ici que $f$ est extrêmement près de l’unité et qu’il n’en diffère qu’à raison de la précession des équinoxes dont le mouvement est très-lent par rapport à $\upsilon$.

Pour avoir l’expression de $\mathrm {R}$, il faut y ajouter ce qui dépend de l’action du Soleil, et l’on verra facilement, en rapprochant l’expression de $\mathrm {R}$ du n^o  46 du Livre II de l’expression $\mathrm {Q}$ des n^os 1 et 3 du Livre VII, que cette partie de $\mathrm {R}$ est la fonction

$-{\frac {m^{2}}{4}}r^{2}\left[1-3s^{2}+3\left(1-s^{2}\right)\cos(2\upsilon -2m\upsilon )\right].$