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En substituant pour $\mu ,\ {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,\ {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi$ leurs valeurs en $\mu _{1}$ et $\varpi _{1}$ on aura

${\begin{aligned}\int {\overline {x}}dm=&\alpha \iiint \rho d\mu _{1}d\varpi _{1}d\left(a^{4}y_{1}\right)\left[\cos \mathrm {A} .\mu _{1}+\sin \mathrm {A} .{\sqrt {1-\mu _{1}^{2}}}\cos(\varpi _{1}-\Pi )\right],\\\int {\overline {y}}dm=&\alpha \iiint \rho d\mu _{1}d\varpi _{1}d\left(a^{4}y_{1}\right)\left[\cos \mathrm {A} .{\sqrt {1-\mu _{1}^{2}}}\cos(\varpi _{1}-\Pi )-\sin \mathrm {A} .\mu _{1}\right],\\\int {\overline {z}}dm=&\alpha \iiint \rho d\mu _{1}d\varpi _{1}d\left(a^{4}y_{1}\right){\sqrt {1-\mu _{1}^{2}}}\sin(\varpi _{1}-\Pi ).\end{aligned}}$

Les coefficients de $\rho d\mu _{1}d\varpi _{1}d\left(a^{4}y_{1}\right)$ étant compris dans la forme $\mathrm {Y} _{1}^{(1)}$ il ne faut, par le numéro cité du Livre III de la Mécanique céleste, considérer dans $y_{1}$ que la quantité $\mathrm {Y} _{1}^{(1)}.$ L’expression générale de cette fonction est

$q^{(0)}\mu _{1}+q^{(1)}{\sqrt {1-\mu _{1}^{2}}}\sin \varpi _{1}+q^{(2)}{\sqrt {1-\mu _{1}^{2}}}\cos \varpi _{1}.$

Il faut, par ce qui précède, augmenter $\mathrm {Y} _{1}^{(1)}$ de la fonction (a). On aura ainsi, relativement au sphéroïde terrestre,

${\begin{aligned}\int {\overline {x}}dm=&{\frac {4}{3}}\alpha \pi \cos \mathrm {A} \left[\int \rho d\left(a^{4}q^{(0)}\right)+\mathrm {Q} ^{(0)}\int \rho d\left(a^{4}\right)\right]\\+&{\frac {4}{3}}\alpha \pi \sin \mathrm {A} \left\{{\begin{aligned}&\sin \Pi \left[\int \rho d\left(a^{4}q^{(1)}\right)+\mathrm {Q} ^{(1)}\int \rho d\left(a^{4}\right)\right]\\+&\cos \Pi \left[\int \rho d\left(a^{4}q^{(2)}\right)+\mathrm {Q} ^{(2)}\int \rho d\left(a^{4}\right)\right]\end{aligned}}\right\},\\\\\int {\overline {y}}dm=&{\frac {4}{3}}\alpha \pi \cos \mathrm {A} \left\{{\begin{aligned}&\sin \Pi \left[\int \rho d\left(a^{4}q^{(1)}\right)+\mathrm {Q} ^{(1)}\int \rho d\left(a^{4}\right)\right]\\+&\cos \Pi \left[\int \rho d\left(a^{4}q^{(2)}\right)+\mathrm {Q} ^{(2)}\int \rho d\left(a^{4}\right)\right]\end{aligned}}\right\}\\-&{\frac {4}{3}}\alpha \pi \sin \mathrm {A} \left[\int \rho d\left(a^{4}q^{(0)}\right)+\mathrm {Q} ^{(0)}\int \rho d\left(a^{4}\right)\right],\\\\\int {\overline {z}}dm=&{\frac {4}{3}}\alpha \pi \left\{{\begin{aligned}&\cos \Pi \left[\int \rho d\left(a^{4}q^{(1)}\right)+\mathrm {Q} ^{(1)}\int \rho d\left(a^{4}\right)\right]\\-&\sin \Pi \left[\int \rho d\left(a^{4}q^{(2)}\right)+\mathrm {Q} ^{(2)}\int \rho d\left(a^{4}\right)\right]\end{aligned}}\right\}.\end{aligned}}$

Soient $\alpha \mathrm {L} ^{(0)},\alpha \mathrm {L} ^{(1)},\alpha \mathrm {L} ^{(2)}$ ces trois valeurs de $\int {\overline {x}}dm,\ \int {\overline {y}}dm,$$\int {\overline {z}}dm,$ et désignons par $\alpha \mathrm {L} ^{'(0)},\alpha \mathrm {L} ^{'(1)},\alpha \mathrm {L} ^{'(2)}$ les mêmes intégrales relatives à la mer. La condition que l’axe principal passe par le centre de gravité de la Terre entière et que ce point soit l’origine des rayons terrestres donnera les trois équations

$\mathrm {L} ^{(0)}+\mathrm {L} ^{'(0)}=0,\qquad \mathrm {L} ^{(1)}+\mathrm {L} ^{'(1)}=0,\qquad \mathrm {L} ^{(2)}+\mathrm {L} ^{'(2)}=0\,;$