Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/352

dans laquelle se change la formule $(\mu ),$ lorsqu’on y fait $i$ négatif et égal à $-i.$ On peut mettre la fonction $\left(c^{-x}-1\right)^{n}$ sous cette forme

${\begin{aligned}c^{-{\frac {nx}{2}}}\left(c^{-{\frac {x}{2}}}-c^{\frac {x}{2}}\right)^{n}=&(-1)^{n}c^{-{\frac {nx}{2}}}x^{n}\left(1+{\frac {1}{1.2.3}}{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {1}{1.2.3.4.5}}{\frac {x^{4}}{2^{4}}}+\ldots \right)^{n}\\=&(-1)^{n}c^{-{\frac {nx}{2}}}x^{n}\left[1+{\frac {nx^{2}}{24}}+{\frac {n(5n-2)}{15.16.24}}x^{4}+\ldots \right]\,;\end{aligned}}$

on aura donc

$\int {\frac {dx}{x^{i+1}}}c^{-sx}\left(c^{-x}-1\right)^{n}=(-1)^{n}\int {\frac {dx}{x^{i+1-n}}}c^{-\left(s+{\frac {n}{2}}\right)x}\left(1+{\frac {nx^{2}}{24}}+\ldots \right).$

Si l’on fait

$\left(s+{\frac {n}{2}}\right)x=x',$

on aura généralement

$\int {\frac {dx}{x^{r}}}c^{-\left(s+{\frac {n}{2}}\right)x}=\left(s+{\frac {n}{2}}\right)^{r-1}\int {\frac {dx'c^{-x'}}{x'^{r}}}\,;$

or on a trouvé dans le n^o 33, par le passage du réel à l’imaginaire,

$\int {\frac {dx'c^{-x'}}{x'^{r}}}={\frac {2\pi (-1)^{r-{\frac {1}{2}}}}{\int x'^{r-1}dx'c^{-x'}}}={\frac {2\pi (-1)^{r-{\frac {1}{2}}}}{(r-1)(r-2)(r-3)\ldots }}\,;$

partant on aura

$(\mu '')\quad \left\{{\begin{aligned}\Delta ^{n}s^{i}&=(i-n+1)(i-n+2)\ldots \left(s+{\frac {n}{2}}\right)^{i-n}\\&\times \left\{{\begin{aligned}&1+(i-n)(i-n-1){\frac {n}{24\left(s+{\frac {n}{2}}\right)^{2}}}\\&+(i-n)(i-n-1)(i-n-2)(i-n-3)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times {\frac {n(5n-2)}{15.16.24\left(s+{\frac {n}{2}}\right)^{4}}}\end{aligned}}\right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.$

Cette série sera très convergente si $i-n$ est peu considérable relativement à $s+{\frac {n}{2}}\,;$ elle peut d’ailleurs être employée dans le cas où $i$ est