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LIVRE PREMIER.

on a ensuite

$(-1)^{{\frac {n+i}{2}}+r+1}=-{\sqrt {-1}}(-1)^{\frac {m}{2n}},$

à cause de $r=n-1$ et de $i=n-1+{\frac {m}{n}}\,;$ or on a, par ce qui précède,

$(-1)^{\frac {m}{2n}}=\cos {\frac {m\pi }{2n}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {m\pi }{2n}}\,;$

on aura donc, pour la partie imaginaire du second membre de l’équation $(o),$

$-2^{n-i}{\sqrt {-1}}{\frac {\sin {\cfrac {m\pi }{n}}}{\pi }}\int dx'x'^{-{\frac {m}{n}}}\cos \left[(2s-n)x'-{\frac {m\pi }{2n}}\right]\left({\frac {\sin x'}{x'}}\right)^{n}\int x^{i}dxc^{-x}.$

Si l’on égale cette fonction à la partie imaginaire du premier membre de cette équation ; si l’on observe de plus que

${\begin{aligned}\int x^{i}dxc^{-x}=&\left(1+{\frac {m}{n}}\right)\left(2+{\frac {m}{n}}\right)\ldots i\int x^{\frac {m}{n}}dxc^{-x}\\=&\left(1+{\frac {m}{n}}\right)\left(2+{\frac {m}{n}}\right)\ldots ink,\end{aligned}}$

en faisant $k=\int t^{n+m-1}dtc^{-t^{n}},$ l’intégrale étant prise depuis $t$ nul jusqu’à $t$ infini ; enfin, si l’on suppose $2s-n=z,$ on aura

$(p)\left\{{\begin{aligned}&{\frac {(n+z)^{n-1+{\frac {m}{n}}}-n(n+z-2)^{n-1+{\frac {m}{n}}}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(n+z-4)^{n-1+{\frac {m}{n}}}-\ldots }{\left(1+{\frac {m}{n}}\right)\left(2+{\frac {m}{n}}\right)\ldots \left(n-1+{\frac {m}{n}}\right)}}\\\\&={\frac {nk2^{n}}{\pi }}\int x'^{-{\frac {m}{n}}}dx'\cos \left(zx'-{\frac {m\pi }{2n}}\right)\left({\frac {\sin x'}{x'}}\right)^{n}.\end{aligned}}\right.$

Dans le premier membre de cette formule, la série doit être continuée jusqu’à ce que l’on arrive à une quantité négative élevée à la puissance $n-1+{\frac {m}{n}},\ z$ ne surpassant point $n\,;$ dans le second membre, l’intégrale doit être prise depuis $x'$ nul jusqu’à $x'$ infini.

La comparaison des parties réelles des deux membres de l’équation $(o)$ conduit au même résultat, et d’ailleurs elle prouve que, pour la coïncidence des deux résultats tirés de la comparaison des quantités