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c’est la valeur de $z_{n,1}.$ Cela posé, l’équation $(i)$ donnera, en y faisant successivement $q=2,\ q=3,\ldots ,$

${\begin{aligned}z_{n,2}=&\Delta ^{2}\left[{\frac {(n-2)(n-3)\ldots (n-r-1)}{1.2.3\ldots r}}\right]^{i},\\z_{n,3}=&\Delta ^{3}\left[{\frac {(n-3)(n-4)\ldots (n-r-2)}{1.2.3\ldots r}}\right]^{i},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et généralement

$z_{n,q}=\Delta ^{q}\left[{\frac {(n-q)(n-q-1)\ldots (n-r-q+1)}{1.2.3\ldots r}}\right]^{i}.$

Ainsi la probabilité que les numéros $1,2,3,\ldots ,q$ sortiront dans $i$ tirages étant égale à $z_{n,q}$ divisé par le nombre de tous les cas possibles, elle sera

${\frac {\Delta ^{q}\left[(n-q)(n-q-1)\ldots (n-r-q+1)\right]^{i}}{\left[n(n-1)(n-2)\ldots (n-r+1)\right]^{i}}}.$

Si l’on fait dans cette expression $q=n,$ on aura, $s$ étant ici la variable qui doit être supposée nulle dans le résultat,

${\frac {\Delta ^{n}\left[s(s-1)\ldots (s-r+1)\right]^{i}}{\left[n(n-1)\ldots (n-r+1)\right]^{i}}}$

pour l’expression de la probabilité que tous les numéros de la loterie sortiront dans $i$ tirages.

Si $n$ et $i$ sont de très grands nombres, on aura, par les formules du n^o 40 du Livre I^er, la valeur de cette probabilité au moyen d’une série très convergente. Supposons, par exemple, qu’il ne sorte qu’un numéro à chaque tirage ; la probabilité précédente devient

${\frac {\Delta ^{n}s^{i}}{n^{i}}}.$

Proposons-nous de déterminer le nombre $i$ de tirages dans lesquels cette probabilité est ${\frac {1}{k}},\ n$ et $i$ étant de très grands nombres. En suivant