dans cette expression
en
ce qui donne
![{\displaystyle y_{m}={\frac {1-\left({\cfrac {1-p}{p}}\right)^{m}}{1-\left({\cfrac {1-p}{p}}\right)^{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac53d4df36c16fb9c17bc5e67c75bc4767e2284)
et, en changeant
en
en
et réciproquement, on aura la probabilité de
pour gagner la partie, et l’on trouvera
pour cette probabilité ; c’est ce dont il est facile de s’assurer d’ailleurs en considérant que,
ou
devant nécessairement gagner la partie, la somme de leurs probabilités doit être égale à l’unité.
Maintenant, si l’on suppose les adresses des deux joueurs égales, et, par conséquent,
l’expression précédente de
devient
ce qui ne fait rien connaître ; mais, en différenciant le numérateur et le dénominateur de cette expression par rapport à
on trouve que dans ce cas
en sorte que les probabilités des deux joueurs
et
sont en raison du nombre de leurs jetons : leurs mises respectives doivent donc être dans le même rapport. Examinons présentement le changement que doit occasionner dans leur sort une inégalité quelconque entre leurs adresses.
Soient
la plus grande et
la plus petite ; on changera successivement, dans l’expression de
en
et
on aura ainsi deux valeurs qui auront lieu suivant que
sera le plus fort ou le plus faible : la véritable expression de
sera donc égale à la moitié de la somme de ces deux valeurs ; d’où l’on tire
![{\displaystyle y_{m}={\frac {1}{2}}{\frac {\left[(1+\alpha )^{n-m}+(1-\alpha )^{n-m}\right]\left[(1+\alpha )^{m}-(1-\alpha )^{m}\right]}{(1+\alpha )^{n}-(1-\alpha )^{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b655e4424e257b29c0b6189360012b779d96cf2)
on peut mettre cette expression sous cette forme
![{\displaystyle y_{m}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\left(1-\alpha ^{2}\right)^{m}{\frac {\left[(1+\alpha )^{n-2m}-(1-\alpha )^{n-2m}\right]}{(1+\alpha )^{n}-(1-\alpha )^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d1cd078a2e9f75b5d8a9f1e9483ad91a6527b2)