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fois à plusieurs forces dirigées dans un même plan, on peut prendre leurs moments par rapport à un point de ce plan ; dans ce cas, on donne à chacun de ces moments un signe qui change à la fois avec le sens de la force et avec le sens de la perpendiculaire abaissée du point choisi, ou centre des moments, sur la direction de la force. En d’autres termes, on donne à chaque moment le signe + ou le signe— suivant que, le centre des moments étant supposé lixe, la force tendrait k entraîner le plan, autour de ce point, dans un sens ou dans l’autre. Lorsque les forces que l’on a à considérer ne sont plus appliquées dans un même plan, les moments de ces forces, par rapport k un point de l’espace, ne pourraient plus être comparés directement les uns aux autres, l’addition ou la soustraction entre eux ne correspondrait plus a aucune idée, il serait impossible d’attribuer des signes à ces moments, etc..Toutefois, la considération de ces moments, comptés dans des plans obliques les uns par rapport aux autres, est encore utile, niais elle ne peut pas être introduite directement ; il faut auparavant s’élever à la notion d’une autre sorte de produits analogues. On nomme moment d’une force par rapport à un axe le produit de l’intensité de cette force par la plus courte distance de sa direction k Taxe, et par le sinus de l’angle des deux directions. En d’iiutres termes, lu moment d’une force par rapport k un axe est le moment de la projection de cette force sur un plan perpendiculaire à l’axe, par rapport au pied de cet axe sur le même plan. De quelque manière que des forces soient dirigées dans l’espace, leurs moments par rapport à. un axe sont comparables et capables de signes distinctifs.
Un système quelconque de forces appliquées k un corps solide peut toujours se ramener a deux forces uniques, dont l’une passe par un point choisi à volonté ; le moment, par rapport à ce point, de la force qui y passe, est identiquement nul, il ne reste donc alors que celui de l’autre force ; on le somme moment résultant des moments des forces proposées par rapport au point considéré. On représente le moment d’une force, par rapport k un point, par son axe, qui est une perpendiculaire au plan du point et de la direction de la force, sur laquelle on prend une longueur proportionnelle au mument. Lorsqu’il s’agit du moment d’une force par rapport k une droite, l’axe de ce moment est naturellement compté sur la droite. Le sens dans lequel l’axe d un moment est dirigé correspond toujours au sens de ce moment. Un observateur placé le long de cet axe, supposé fixe, verrait tourner de sa gauche à sa droite le corps entraîné par la force en question. Cela posé, le théorème des moments consiste dans l’énoncé suivant : l’axe du moment résultant des moments de tant de forces que l’on voudra, par rapport à un point quelconque de l’espace, est représenté en grandeur et en direction par la ligne qui fermerait un contour dont les côtés représenteraient en grandeurs et en directions les axes des moments des forces considérées, par rapport au même point.
Ce théorème général se déduit d’une série de propositions dont la première est due à Vurignon, et qui consiste en ce que le moment de la résultante de deux forces concourantes par rapport à un point quelconque du plan est é^al k la somme des moments des composantes : soient F et F’ les deux forces proposées, représentées proportionnellement par AB et AC ; R. leur résultante, représentée par AD ; enfin 0 le centre des moments, et Où, Oc, Ôd les perpendiculaires abaissées du point i.) sur les directions des trois forces : il s agit de montrer que
AD x Od = AB x 04 + AC x Oc.
Or, ces trois produits représentent respectivement les doubles des triangles
AOD, AOB, AOC,
qui ont même bsise AO, et il est évident que la hiiuteur’ du premier est égale à la somme de celles des dt-ux autres, car ces hauteurs seraient les projections de
AD, AB et AC, ou BD,
sur une perpendiculaire AX k AO.
Le point O se déplaçant dans le plan, chaque moment changerait de signe en même
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temps que le triangle correspondant changerait de sens par rapport à sa base
AB, AC ou AD ;
par conséquent la relation entre les trois moments M.R = M.F+ M.F’ est générale comme la relation entre les triangles.
Le théorème étant établi pour deux forces, on l’étend sans difficulté à un nombre quelconque de forces contenues dans un même plan, les moments étant pris, bien entendu, par rapport à un point de ce plan.
Considérons maintenant un système quelconque de forces concourant en un même point, et prenons les moments de ces forces par rapport à une droite quelconque ; comme les forces projetées sur le plan perpendicufaire k la droite choisie auront pour résultante la projection sur le même plan de la résultante des forces proposées elles-mêmes, il est clair que l’on peut énoncer ce théorème, que le moment de la résultante de forces quelconques appliquées en un même point, par rapport k une droite quelconque, est égal à la somme des moments des composantes par rapport à la même droite.
Il résulte déjà des remarques qui précédent que toutes les transformations successives employées pour ramener un système quelconque de forces k deux forces uniques, dont l’une passe par un point choisi k l’avance, laissent invariable la somme des moments des forces de ce système par rapport k une droite quelconque. En effet, ces transformations ne consistent que dans des déplacements des points d’application de certaines forces, sur leurs directions respectives ; dans l’introduction de forces égales et directement opposées deux à deux ; enfin dans la composition de forces concourant à des distances finies ou infinies. En particulier, la somme des moments des forces proposées par rapport à une droite quelconque menée par le point choisi pour y appliquer l’une des deux réduites est égal à la somme des moments de ces deux réduites par rapport à la même droite, c’est-à-dire au moment de celle des réduites qui ne passe pas en ce point.
Cela posé, comparons le moment d’una force par rapport k un point, aux moments de cette force par rapport aux différentes droites passant parce même point ; le moment de la force par rapport au point considéré est représenté par !e double de l’aire du triangle qui aurait pour sommet le point et pour base la droite représentative de la force ; celui de la même force par rapport à une droite passant par le même point est représenté par le double de l’aire d’un triangle qui n’est autre que la projection du premier sur un plan perpendiculaire à la droite choisie ; le second moment est donc le produit du premier par le cosinus de l’angle de leurs plans ; mais les axes de ces moments font entre eux le même angle que les plans, l’axe du second mument doit donc être la projection du premier sur sa direction. Ainsi, si l’on a construit l’axe du moment d’une force, par rapport à un point, pour avoir celui du moment de la même force par rapport à une droite quelconque passant par le même point, il suffira de projeter le premier axe sur la droite choisie. On peut remarquer que le lieu des extrémités des axes de ces moments est la surface de la sphère décrite sur l’axe du moment pris, par rapport au point, comme diamètre.
Ces nouvelles considérations conduisent presque immédiatement à la démonstration du théorème général énoncé plus haut. En effet, par le point choisi pour y appliquer l’une des deux réduites, imaginons une droite quelconque et concevons, dune part le moment de la seconde réduite par rapport à cette droite, de l’autre les moments de toutes les forces données ; par le premier théorème, le moment par rapport à la droite considérée de la deuxième réduite sera la somme des moments des forces proposées par rapport à. la même droite, ou bien l’axe ou moment de celte deuxième réduite, par rapport à la droite, sera la somme des axes des moments, par rapport à la même droite, des forces du système ; mais tous ces axes ne seront que les projections sur la droite choisie des axes des moments des mêmes forces par rapport au point choisi. Ainsi l’îixe du moment, par rapport k un point, de la réduite qui n’y passe pas, donne sur une droite quelconque une projection égale k la somme de celles faites sur la même droite des axes des moments, par rapport-au même point, de toutes les forces du système. Il en résulte immédiatement que le premier axe ferme le contour dont les autres seraient les cotés, ou qu’il en est le résultant.
L’axe du moment résultant des moments des forces d’un système par rapport à un point a respectivement pour projections orthogonales, sur trois axes rectangulaires, les sommes des axes des moments par rapport à ces trois axes des forces du système ; par conséquent, le carré du premier est égal à la somme des carrés des sommes des autres ; c’esta-dire que, si L, M, N désignent les sommes des moments des forces d’un système par rapport aux trois axes des x, des y et des r, supposés rectangulaires, et si G désigne le moment résultant par rapport k l’origine,
G1 = L* + M’ + N1.
D’ailleurs, les angles «, S, i que l’axe G fait
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avec les axes de coordonnées sont déterminés par les équations
G cos o = L, G cos 6 = M et G cos -j = N,
Soient X, Y, Z les composantes parallèles aux axes de l’une des forces F du système, et x, y, z les coordonnées de son point d’application, le moment de cette force F par rapport à l’axe des x sera la somme des moments de ses composantes, ou seulement la somme des moments de Y et de Z, car celui de X est identiquement nul. Cette somme Zy — Yi sera un des termes de L, qui pourra s’exprimer par
L = 2(Zy — Ys) ;
on trouverait de même
et
M = £(Xr — Zx),
N = ï(Yar — Xy). Les conditions d’équilibre d’un corps solide
SX = o, ïY = o, IZ = 0,
sont
et
S(Zy— Ys) = 0, î(Xï-Za ;) = 0, ï(Yx-Xy=Û ;
deux systèmes équivalents de forces, c’est-à-dire tels qu’opposés l’un à l’autre ils se feraient équilibre, doivent donc donner les mêmes sommes de projections sur trois axes rectangulaires quelconques et les mêmes sommes de moments par rapport à ces axes.
— Moments de couples. On nomme moment d’un couple le produit de la force par le bras de levier ; c’est la somme des moments des deux forces du couple par rapport à un point quelconque de leur plan. Ce moment est représenté par l’aire du parallélogramme qui aurait pour côtés les droites représentatives des deux forces. Lorsqu’on projette un couple d’un plan sur un autre, son moment se multiplie par le cosinus de l’angle des deux plans. La somme des moments dés forces d’un couple par rapport à un axe quelconque est donc le produit du moment de ce couple par le cosinus de l’angle que son plan fuit avec le plan perpendiculaire k l’axe.
D’après la remarque faite tout à l’heure sur les systèmes équivalents de forces, il est clair qu on peut transporter où l’on veut un couple parallèlement k lui-même dans son plan ou dans tout autre plan parallèle, et l’y faire tourner ensuite à volonté. D’ailleurs, si l’on compose entre eux des couples en nombre quelconque, on ne peut jamais arriver qu’à d’autres couples, puisque la somme des projections des forces du système, sur un axe quelconque, doit toujours rester nulle.
Un représente habituellement le moment d’un couple par son axe, qui est une perpendiculaire k son plan sur laquelle on inarque une longueur proportionnelle au moment. En adoptant ce mode de représentation, on peut dire que la somme des moments des forces d’un couple, par rapport k une droite quelconque, a pour axe la projection sur cette droite de l’axe même du couple. Si donc on conçoit, par un point quelconque de l’espace, trois axes rectangulaires, le3 axes des sommes respectives de3 moments des’forces d’un système quelconque de couples, par rapport à ces trois axes coordonnés, seront les sommes des projections faites sur eux des axes des couples proposés ; l’axe du moment résultant par rapport à l’origine sera donc la résultante des axes des moments des couples : c’est-k-dire que l’on compose des couples en nombre quelconque en composant les axes de leurs moments.
— Moments d’inertie. On nomme moment d’inertie d’un point matériel par rapport & une droite le produit de la masse de ce point par le carré de sa distance à la droite, et moment d’inertie d’un solide par rapport k une droite la somme des moments d’inertie, par rapport à cette droite, de tous les points matériels qui le composent. V. inertie.
— Moments de quantités de mouvement. On nomme moment par rapport k une droite de la quantité de mouvement d’un point, c’est-à-dire du produit de sa masse par sa vitesse, le produit de cette quantité de mouvement, projetée sur un plan perpendiculaire à la droite, par la distance de la projection au pied de la droite sur le même plan. En désignant par m la masse d’un point matériel, par o sa vitesse, par p la plus courte distance de cette vitesse à l’axe choisi, enfin par a l’angle de cet axe avec la direction de la vitesse, le moment de la quantité de mouvement du point est
m.v.p sin a.
Les vitesses des différents mouvements dont on peut concevoir un point comme simultanément animé se composant et se décomposant par la même règle qui convient aux forces appliquées en un même point, les théorèmes relatifs aux moments des forces appliquées en un même point se transportent immédiatement aux moments des quantités do mouvement composant la quantité de mouvement de ce point. Ainsi, si l’on veut exprimer le moment de la quantité de mouvement d’un point matériel par rapport k trois axes rectangulaires, on aura, pour le moment par rapport k l’axe des x,
(dz dy KTt^dtV'
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et pour les deux autres axes des y et des x, tdx dz
mdlz-Ttx) et
(du dx
— Théorème des moments des quantités de mouvement. La vitesse d’un point matériel au bout d’un temps dt se forme par la composition de sa vitesse initiale et du produit par dt de son accélération k l’instant considéré ; par suite, la quantité de mouvement du point, au bout d’un temps dt, se forme par la composition de sa quantité de mouvement initiale et du produit par dt du résultat de la multiplication de sa masse par son accélération ; mais le résultat de cette multiplication est la force appliquée au point matériel ou la résultante des forces qui lui sont appliquées ; par conséquent, le moment par rapport à une droite quelconque de la quantité de mouvement d’un point matériel, au bout d’un temps dt, est égal k la somme des moments, par rapport k la même droite, de la quantité de mouvement initiale et du produit par dt de la force qui y est appliquée, c’est-à-dire de l’impulsion élémentaire de cette force :
OTL. m(v + dv) = 3Tb. mu + 0Tb. F df.
On peut encore écrire
011/. m(i) + dv) = 01L. mv + sOTb. fdt,
f désignant l’une quelconque de3 forces appliquées au point matériel et qui composent K, puisque le moment d’une force est égal k la somme des moments de ses composantes.
L’équation précédente donne
0Tb. m[v + dv) — 0K, . mv = OIL-. F dt,
c’est-k-dire que l’accroissement élémentaire du moment de la quantité de mouvement d’un point matériel par rapport k une droite quelconque est égal au moment, par rapport à la même droite, de l’impulsion élémentjûre de la force qui sollicite ce point.
La même équation, appliquée de proche en proche pendant un temps quelconque, conduit à ce nouvel énoncé : L accroissement du moment de la quantité de mouvement d’un point matériel par rapport à un axe quelconque et pendant un temps quelconque est égal k l’intégrale correspondante au même temps du moment par rapport au même axe de l’impulsion élémentaire de la force appliquée k ce point :
OR/.nw — OÏL-, m»,
Oïb.Fdr.
Le théorème s’étend sans difficultés à tout un système matériel. En effet, on a pour chaque point de ce système
OTL. mu-01L. mu, = 2 / dïb.fdt,
■£
f désignant l’une quelconque des forces qui lui sont directement appliquées ou qui représentent les réactions exercées sur lui par les autres parties du S3’Stème ; en faisant la somme de toutes ces équations, il vient
ïOlL-Wf — sOTb.wu,
-f, ’ :
0Tb. f’»
le signe Z, dans le second membre, s’étendant maintenant k toutes les forces qui agissent sur un point en particulier, et ensuite k tous les points. Mais il est k remarquer que dans ce second membre les moments des forces intérieures disparaissent d’eux-mêmes, ces forces étant deux k deux égales et directement opposées, de sorte qu’il reste seulement
î 0Tb. mu
— sOïb.mu, = 2 / !
0Tb. F dt,
F désignant l’une quelconque des forces extérieures.
On peut considérer le mouvement relatif d’un système comme un mouvement absolu, pourvu qu’on joigne aux forces données, pour chaque point matériel, la force d’inertie d’entraînement et la force centrifuge composée ; mais si l’on a à appliquer le théorème des moments des quantités de mouvement, il faut naturellement les prendre dans le mouvement relatif. Le cas qui se présente le plus fréquemment est celui où les axes mobiles, qui forment les repères, passent par le centre de gravité du système matériel et sont entraînés avec lui en conservant des directions constantes. Les sommes des moments des quantités de mouvement prises par rapport aux axes fixes et aux axes mobiles sont alors liées par une relation remarquable, qu’il est important de connaître : la somme des momenrs des quantités de mouvement des parties du système matériel par rapport à l’axe des x est
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(Tty-dt*)>
si xt, y'lt s, désignent les coordonnées, par rapport aux axes fixes, du centre de gravité, et x’, y’, z’ les coordonnées, par rapport aujt
