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là ni de leurs semblables, » Le probabilisme surtout les faisait exécrer et les Provinciales de Pascal accrurent encore la répulsion des honnêtes gens contre cette hideuse doctrine en les faisant mieux, connaître. Dans sa deuxième épUro sm¥Amour de Dieu, Boileau les flétrit à son tour : « Los préceptes des jésuites, dit-il, sont non-seulement faux, mais abominables. * La Fontaine ne s’indigne pas, il aime mieux se moquer :
Veut-on monter sur les-Cclestes tours, Escobnr suit un chemin de velours ; Il ne dit pas qu’on peut tuer un homme Qui sans raison nous tient en allorcas, Pour un fétu ou bien pour une pomme, Mais qu’on le peut pour quatre ou cinq ducnls ! Même il soutient qu’on peut, en certains cas, Faire un serment plein de supercherie ; S’abandonner aux douceurs de la vie, S’il est besoin, conserver ses amours ; Ne faut-il pas, après cela, qu’on criu : « ËBCObar suit un chemin de velours 1 ■
Nous n’entreprendrons pas d’enregistrer ici les protestations de tous les esprits généreux ; de tous les hommes illustres qui ont attaqué, les uns par la satire, les autres par le raisonnement, tous au nom de la morale et de la vertu outragées, l’exécrable doctrine dont nous parlons ; citons seulement : Bayle dans son Dictionnaire ; Diderot dans l’Encyclopédie ; Montesquieu dans les Lettres persanes ; Voltaire dans tous ses écrits.
Nulle religion, nulle secte philosophique n’a produit, dans toute l’histoire du monde, une doctrine aussi attentatoire à la conscience, à la raison, k la société. Ceux qui ont l’impudeur de la professer se rayent par cela même du nombre des hommes de bien ; ils inoculent un poison mortel dans tout corps social qui n’a pas la force ou le courage de les rejeter de son sein.
PROBABILISTE s. (pro-ba-bi-li-ste —rad. probabilisme). Théol. l’artisan du probabilisme.
PROBABILITÉ s. f. (pro-ba-bi-li-té — lat. probabilitas ; ùeprobabilis, probable). Raisons qui font présumer la vérité d’une chose : Examiner, calculer, peser les probabilités. Je n’y vois pas de probabilité. L’affirmative et lu négative de presque toutes les opinions ont leur probabilité. (Pasc.) Il ne faut pas dire qu’une chose est démontrée quand elle n’a qu’un certain degré de probabilité. (Grimm.)
— Malhém, Calcul des probabilités, Ensemble des règles au moyen desquelles on calcule les chances : Le calcul bus probabilités a donné naissance à une science nouvelle qui n’est encore qu’à son berceau : celle des assurances. (E. de Gir.)
— Théol. Doctrine, opinion de la probabilité, Probabilisme.
— Syiï. Probnbiliié, appnrcuce, vralaembtanen. V. APPARKNCE.
— Encycl. Philos. « Tout ce qui n’est pas démontré aux yeux, dit Voltaire, ou reconnu pour vrai par les parties évidemment intéressées à le nier, n’est tout au plus que probable. » Laplace dit : « La probabilité est relative en partie à nos connaissances, en partie à notre ignorance. » 11 suit de là que, nos connaissances s’aecroissant avec le temps, notre intelligence progressant par l’étude et l’expérience, la raison parviendrait dans un temps donné à changer le plus de probabilités possible en certitudes. II est avéré que le cercle des probabilités va en diminuant ; tel fait considéré autrefois comme seulement, probable est devenu certain et entré dans le domaine des sciences exactes ; tel autre, au contraire, admis aussi comme probable, a fini par être reconnu absolument, faux. Mais cette progression de l’intelligence s’exerce dans l’infini, le but qu’elle veut atteindre recule k chaque progrès accompli ; à mesure que de simples probabilités deviennent des certitudes, des faits nouveaux surgissent qui demandent ù être étudiés, médités, de telle sorte que, dans cette lutte incessante de l’intelligence contre l’ignorance, le but s’éloigne à mesure que l’on avance.
La probabilité philosophique est plus subtile, plus déliée que la. probabilité mathématique ; elle échappe au calcul et ne peut se traduite en chiffres.- Elle tient a l’idée même que nous nous faisons de l’ordre et de la nature des choses. Essentiellement personnelle, elle fait naître dans notre esprit une sorte de certitude qui tient à nous-mêmes, k nos connaissances, à notre manière de raisonner ; c’est comme la résultante de toutes nos pensées. Mais, par cela même, ce oui constitue pour l’un des éléments de probabilité n’en constitue pas pour un autre. Tous les hommes cependant possèdent ce sentiment confus, presque inavoué ; chez les uns, la probabilité philosophique s’exerce sans utilité et sans hauteur ; chez les autres, elle arrive k une subtilité telle qu’elle est un des attributs du génie. Il est incontestable que cette perception a un fondement scientifique ; mais, si elle est précise dans ses résultats, dans les convictions qu’elle concourt k former, elle reste confuse dans les éléments dont chacun la tire. Plus audacieuse que la science, elle synthétise tous les faits connus et, d’un coup d’aile franchissant les barrières que nous impose l’état de nos connaissances, elle aborde les grandes lois générales, elle perçoit et résout ces grandes inconnues, éteruol su PROB
jet de recherches et de doutes pour la science. Cette idée de la simplicité, de l’unité de la nature, que tant d’esprits sérieux ont adoptée, ne comprenant pas que deux lois puissent se contredire et que la nature ait besoin de ressorts différents alors qu’une loi seule peut suffire, est pour beaucoup une probabilité philosophique. Quel esprit pourrait apprécier les chances de cette hypothèse, embrasser toutes les données du problème, les forcer à se.poser dans les plateaux d’une balance ? Cette tâche échappe à l’homme ; elle est au-dessus de ses forces, et cependant il croit à cette hypothèse qu’il ne peut laisser traiter de chimère ; elle devient sa vie, la règle presque unique de sa conduite. Sur cette hypothèse, il bâtit comme sur des fondements de granit tout un système philosophique ; la science elle-même, si positive, se prête à ces calculs fantaisistes, obéit a ces lois supposées. Chimère I dira-t-on. Chimère, soit ^ mais pour beaucoup cette chimère est la vie, la conviction, la conscience. Elle est ce que l’homme a de plus précieux ; elle le guide, le soutient jusqu’au jour où son éclat disparaît ; elle était probabilité philosophique, elle devient erreur et s’évanouit.pour faire place à une autre, car l’activité humaine ne se laisse pas arrêter par une erreur, rebuter p’ar une expérience fatale. Voltaire a essayé avec bonheur d’appliquer les règles de la probabilité philosophique aux décisions de la justice humaine. Il importe tout d’abord de dire qu’il n’y a pas de demi-certitude. L’Encyclopédie, en admettant les demi-certitudes et les demi-mérites, a commis une erreur grossière qu’il importe de rectifier. Une chose est vraie ou fausse. Mais, le plus souvent, l’homme étant incertain ne peut nier ou affirmer ; il déclare donc probable ou improbable le fait qu’il ne peut ni prouver ni attaquer d’une façon décisive. Un événement est probable lorsque le nombre des combinaisons en faveur de la réalité de cet événement est beaucoup plus grand que celui des combinaisons contraires. La probabilité est d’autant plus grande que les nombres favorables augmentent, les autres allant, par conséquent, en diminuant. Il convient donc de dire que les demi-preuves, quarts de preuve, etcl, sont dçs mots vides de sens. C’est en s’appuyant sur ces données que Voltaire a conçu son sj-stème de probabilité en matière de justice. Il débute par donner un exemple frappant de son utilité : « Les juges d’un bailliage de Bar qui firent périr, en 176S, un père de famille, un vieillard nommé Martin, sur la roue, le condamnèrent sur les plus fausses conjectures. Un meurtre et un vol s’étaient commis sur le grand chemin, k quelques pas de la maison de l’accusé ; on trouva sur le sable la trace de deux souliers et on conclut Que c’étaient les siens. Un témoin du meurtre tut confronté avec lui et dit : « Ce n’est pas là l’assassin. — Dieu soit loué, s’écria le vieillard innocent, en voici un qui ne m’a pas reconnu. • Le juge interpréta ces paroles comme un aveu du crime. Il crut qu’elles signifiaient : Je suis coupable et on ne m’a pas reconnu. Elles signifiaient tout le contraire ; mais la sentence fut portée, le condamné transféré à Paris et le jugement confirmé à la Tournelle. L’innoeent fut exécuté. Quelques jours après, un scélérat, condamné et exécuté dans le même lieu, avoua k la potence qu’il était coupable du meurtre pour lequel un père de famille très-vertueux avait été rompu vif. » Si le juge, au lieu de traduire comme un aveu maladroit, et par cela seul improbable, une parole de l’accusé, avait admis les probabilités, voici ce qui serait arrivé sur ce seul fuit, en ne parlant pas des autres faits favorables ou non que l’on ne peut peser puisque Voltaire n’en parle pas. > Cette parole pouvait avoir deux sens : dans un cas, c’était un aveu ; dans l’autre, ce n’était que le cri d’une conscience pure, heureuse de se voir déchargée d’un soupçon odieux. Tout d’abord une probabilité très-grande se manifestait en faveur de cette dernière supposition ; il est par trop naïf de supposer qu’un accusé va se condamner ainsi lui-même devant une déclaration qui l’absout. L’accusé ne s’est pas troublé après avoir dit ces mots ; il n’avait donc pas conscience d’avoir aggravé sa cause. Lorsque le juge a interprété ses paroles dans le premier sens, ila témoigné un étonnement réel qui ne parait nullement joué. On pourrait poursuivre jusqu’au bout cet examen ou plutôt ce calcul, et il en résulterait infailliblement que toutes les probabilités semblaient indiquer que la parole prononcée ne renfermait pas un aveu grossier et maladroit, mais qu’elle n’était qu’un cri de joie naturel de la part d’un innocent. Le calcul eût donc conduit à un acquittement, tandis que le juge, prévenu par ce cri qui ne constituait nullement une preuve, n’attacha plus d’importance aux autres faits, se fil une certitude là où la certitude n’avait rien à voir, puisqu’elle ne pouvait exister, et condamna un innocent. »
Souvent, dans les affaires criminelles, une circonstance insignifiante au point de vue de la probabilité fait naître dans l’esprit du tribunal ce qu’il appelle k tort la certitude, lin adoptant le système si simple présenté pur Voltaire, ces erreurs terribles ne seraient pas à craindre. Voltaire poursuit son examen en citant des procès fameux, ceux de Lartglade, Calas, etc., et la simple application du calcul des probabilités lui montre d’une façon
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évidente, indiscutable l’innocence, des malheureuses victimes condamnées et exécutées.
— Mathém. Nous avons exposé ht théorie du calcul des probabilités (v. calcul). Nous ne nous occuperons ici que de ses applications. On a sans doute de tout temps su déterminer, dans les cas les plus simples, les rapports des chances favorables ou contraires aux joueurs et régler proportionnellement les enjeux. Mais c’est Pascal et Fermât qui les premiers envisagèrent quelques questions un peu compliquées touchant les paris, essayèrent de déterminer les principes nécessaires pour les résoudre et d’adapter le calcul à la solution de ces difficultés nouvelles. Telle est la question connue sous le -nom de problème des paris, qui les occupa quelque temps et qu’ils résolurent l’un et l’autre par des méthodes différentes, Pascal en intégrant l’équation aux différences à laquelle il conduit, Fermât par la théorie des combinaisons.
Huyghens donna le premier traité du calcul des probabilités, sous le titre : De ratiociniis in ludo. Hudde et Witt en Hollande et Halley en Angleterre s’occupèrent peu après des problèmes relatifs à la durée de la vie humaine. Halley donna même une table de mortalité, la première qui ait paru ou même —ait été conçue.
Vers le même temps, Jacques Bernoulli proposa aux géomètres quelques problèmes de probabilité dont il réunit plus tard les solutions dans son traité Ars conjectandi, qui parut en,1713, sept ans après sa mort. C’est dans cet ouvrage, remarquable à plusieurs autres titres, que se trouvent l’énoncé et la démonstration de ce théorème fameux que, lorsque le nombre des observations croît indéfiniment, les rapports dus nombres d’événements de diverses natures qui se manifestent successivement doivent tendre de plus en plus vers ceux de leurs possibilités respectives et finir par différer indéfiniment peu de ces limites.
Peu avant la publication de l’ouvrage de Bernoulli, Montmort et Moivre, l’un Anglais, l’autre Français, réfugié en Angleterre k la suite de la révocation de l’édit de Nantes, publièrent k Londres.deux nouveaux traités sur la même matière. Celui de Montmort est intitulé ; Essai sur les jeux de hasard ; il contient les solutions d un grand nombre de questions relatives aux divers jeux et quelques lettres intéressantes do Nicolas Ber. noulli sur la matière.
Celui de Moivre parut d’abord dans les Transactions philosophiques pour l’année nu, mais l’auteur en donna depuis trois éditions séparées. C’est dans ce traité que prit naissance la théorie des séries récurrentes que Maivre acheva presque du même coup (v. récurrente) et dont il sut faire le plus heureux usage pour la résolution des problèmes relativement simples qu’il se proposait. La méthode de Moivre revient au fond à l’intégration des équations linéaires aux différences finies k coefficients constants ; c’est la même que Lagrange n depuis appliquée d’une manière plus générale à la même question.
Taylor fit aussi faire, indirectement, d’importants progrès aux méthodes propres k la solution des questions quecomportele calcul des probabilités dans sa Methndus incrementorum, où se trouve la manière d’intégrer l’équation linéaire aux différences du premier ordre, avec un coefficient variable et un dernier terme fonction d’un indice.
Depuis lors, un grand nombre de savants, parmi lesquels nous citerons Deparcieux, Kersseboom, Wargentin, Dupré de Saint-Maur, Simpson, Sussmilch, Price et Davillard, s’exercèrent sur les questions relatives k la population, aux naissances, aux mariages et à la mortalité. Us ont donné des formules propres au calcul des rentes viagères, des taux d’assurances, etc. Laplace est le dernier géomètre qui se soit occupé de ces questions, mais il a k la fois renouvelé les méthodes et incomparablement agrandi le domaine de la science des probabilités. Nous analysons ei-après son ouvrage.
— Artill. Probabilité dit tir. Pour qu’un. projectile destiné k atteindre un but’ait une certaine probabilité de le toucher, il faut que ce but ait des dimensions suffisantes. On sait en effet que des causes nombreuses de déviation donnent à chaque projectile une trajectoire distincte, et lorsque, par exemple, on lire un grand nombre de coups sur une cible, les différents points où le centre de chaque projectile rencontre la cible ne se confondent pas, quand bien même on aurait eu soin de chercher k se placer dans des circonstances identiques. Si on examine ces points centraux ou points d’impact, on voit qu’ils sont parfois très-éloignés les uns des autres et ne paraissent soumis à aucune loi dans leur arrangement. Il est cependant naturel de croire que plus les causes déviatrices seront nombreuses, c’est-k-dire moins l’arme dont il aura été fait usage sera bien constituée, bien pointée, bien établie, plus aussi il devra se manifester un écart sensible dans la position moyenne des points d’impact, et cette position permettra ainsi de juger de la justesse du tir et de la bonté des armes employées.
. Mais de quelle manière utilisera-t-on les résultats obtenus pour comparer ainsi des tirs différents ? voilà ce qui était indécis il y a quelques années encore. C’est en présence
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du manque de principes arrêtés à ce sujet que le comité d artillerie français mettait au concours entre les officiers d’artillerie, en 1828, la question suivante : « Indiquer, en se fondant sur les principes connus de la théorie des probabilités, le meilleur mode k adopter pour la recherche des portées moyennes, discuter le mérite relatif des divers procédés en usage. « Les trois mémoires présentés ne furent pas regardés comme satisfaisants, et Poisson crut même devoir k ce sujet revenir assez longuement sur la théorie des probabilités, peu familière alors à certains officiers de l’arme, ’dans une note insérée au Mémorial de l’artillerie (1830, vol. III) et dans un mémoire Sur la probabilité du tir d la cible, inséré dans le vol. IV (IS37). Laplace, Cournot, Dulion, dans leurs ouvrages sur les probabilités (le dernier spécialement consacré k la question qui nous occupe), ont traité cette question du tir probable des projectiles.
Lorsque le nombre des points d’impact augmente de manière a devenir considérable, on reconnaît assez vite que ces centres se groupent autour d’un certain point de l’objet atteint et que la loi de probabilité des écarts parait être la même autour de cette position particulière pour tous les points d’une circonférence quelconque dont 1ô point considéré serait le centre. Ce point central est appelé point d’impact moyen.
Supposons tracés sur la cible deux axes rectangulaires, par exemple, l’un horizontal, l’autre vertical, et se coupant au point de visée ou point de mire. On admet qu’il existe une ligne horizontale au-dessus et au-dessous de laquelle, pour des pointî équidistonts, la probabilité d’être un point d’impact réel est la même. On admet qu’il en est de même pour une certaine verticale. La point de rencontre de ces deux droites est le point d’impact moyen. On calcule facilement ses coordonnées. Soient en général x, y les coordonnées d’un point d’impact, n le nombre de projectiles donnés, les coordonnées du point d’impact moyen seront
X :
IX
y = X
n »
Si l’arme a été bien construite et ne comporte pas de causes inhérentes k sa nature qui fassent dévier le projectile, et si l’on s’est placé autant que possible dans des conditions identiques, X et Y sont des nombres très-faibles. Us ne peuvent prendre do valeur un peu grande, lorsque n est suffisamment grand, quo dans le cas d’une cause permanente de déviation. On exprimera la grandeur de cette déviation par la distance au point de mire du point d impact moyen ; on aura, en la désignant par D,
D = (/XH^V7.
La direction de la déviation sera celle de la droite OM, qui joint le point de mire au point d’impact moyen ; i représentant l’inclinaison de cette droite sur l’axe des X, nous aurons
« Y
tung t = -.
A.
L’abscisse du point d’impact moyen représente l’écart» moyen horizontal dos points d’impact ; l’ordonnée de ce point représente l’écart moyen vertical des points d’impact. On appelle écart moyen absolu l’expression
—, dans laquelle S représente la distance
au point de mire de l’un des points d’impact et s’étend k tous ces points.
La somme des carrés des écarts horizontaux des divers pointa d’impact oar rapport au point d’impact moyen est un minimum. En effet, soient a l’abscisse d’un point déterminé de la cible, x celle d’un point d’impact ; soit encore x — a = e l’écart horizontal du point x relatif au point u. Si nous étendons k tous les points d’impact la formule évidente
e3 = (x — a)’»»1—2ow ; + a’, nous obtiendrons
lé = lx’ — Sala : -j- Ha1.
Puisque u est de nombre des points d’impact, ajoutons et retranchons au second membre nX4 ; on pourra écrire ;
le* = Si’ — hX* -J- «(« — X)’.
Or, dans l’expression du deuxième membre, le seul terme qui varie avec o est positif ; le minimum de Se* aura donc lieu pour o = X, ce qui prouve bien que le point d’impact moyen jouit de la propriété énoncée.
On démontrerait d’une manière analogue les deux propriétés suivantes du même point :
Par rapport au point d’impact moyen, la somme des carrés des écarts verticaux est minimum. Par rapport au point d’impact moyen, la somme des carrés des écarts absolus des différents points d’impact réels est minimum.
Soient le" la somme des écarts verticaux, Si1 la somme des écarts absolus, nous avons les trois égalités suivantes :
(1) lé*=Zx> — nX’ ;
(2) Ze"=XijI — nY" ;
(3) ï^ïp5 — »DJ,
en conservant k D la valeur que nous lui ayons attribuée et en désignant par ç la distance k l’origine des coordonnées du point d’impact, dont les coordonnées sont a et v.
