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symétriques ; que leurs courbures sont égaes ; que deux surfaces courbes symétriques ont même étendue ; que leurs plans tangents en des points symétriques, leurs normales sont symétriques ; que leurs courbures principales sont égales ; enfin, que deux corps symétriques ont même volume.
On nomme quelquefois symétrie oblique par rapport à un plan ou par rapport aunedroite, mais seulement alors pour les figures planes, une disposition de deux figures où les droites qui joignent les points correspondants sonc toutes parallèles entre elles et ont leurs milieux sur le plan ou la droite de symétrie. Dans deux figures symétriques obliquement, les distances des points symétriques ne sont plus égales. Elles sont bien encore les troisièmes côtés de deux triangles nynnt les mitres côtés égaux chacun à chacun ; mais les angles compris entre ces côtés sont supplémentaires. Les relations entre les deux figures sont, par conséquent, alors bien moins intimes ; toutefois, les aires planes terminées par des contours obliquement symétriques sont équivalentes comme composées de parallélogrammes infinitésimaux de même buse et de même hauteur, et les volumes terminés par des surfaces obliquement symétriques sont équivalents comme composés de parallélépipèdes de même base et de même hauteur.
— B.-arts et philos. Toute harmonie est proportion, et la plus simple des proportions, c’est l’égalité, qui engendre la répétition. Prenez des objets de différentes couleurs, grundeurs, nature ; il n’existe entre leurs qualités ni rapport ni proportion j leur réunion est une confusion ; l’ensemble en est criard. Mettez maintenant ces objets dans un kaléidoscope qui, par ses miroirs, les triple ou les quadruple ; vous êtes ravi du spectacle : la moindre secousse change le panorama ; si les couleurs étaient seulement choisies parmi les bonnes triades aimées des coloristes, vous croiriez assister à toutes les métamorphoses de l’ornementation orientale. La symétrie cause seule tout ce prestige. Et pourquoi 7 c’est que la symétrie est en nous. D’un pâté d’encre, en le doublant, en le dédoublant, rien que par la symétrie, c’est-à-dire sans rien lui faire représenter autre chose que la répétition de son aspect primitif, qui était informe, on peut toujours faire un hiéroglyphe qui plaise, et, à créer ses métamorphoses, on laisse s’écoulerles heures. Encore une fois, pour quelle raison ? c’est que la symétrie n est point seulement une des conditions de l’art, mais une des conditions de la nature. L’esthétique ne sera jamais unescience si on ne la rattache pas rigoureusement à la science de la nature. M. Heilmotz a commencé, pour l’acoustique et l’optique, cette esthétique physiologique, et bientôt des goûts et des couleurs on pourra discuter. Bichat, Geoffroy Saint-Hilaire, Meckel, Cabanis, et, plus près de nous, Carus, N. Daily et le docteur Henri Favre ont exposé la nécessité de ta symétrie dans tout ce qui vie, et, par suite, l’obligation pour l’art de reproduire cette symétrie, en la modifiant selon sa donnée particulière.
La vie, que Bichat définissait l’ensemble des fonctions qui résiste à la mort, peut être envisagée d’une manière plus simple, comme la réalisation d’un rapport, le produit d’au moins deux facteurs : le sensibilisateur et le sensibilisé. La condition matérielle de ce rapport est au moins un dualisme, et, par suite, une symétrie. Il ne faut pas oublier l’axiome qu’il n’est rien dans le mouvement vital qui ne soit dans le mouvement commun, ou, en d’autres termes, qu’il y a série de la nature inorganique à la nature organique ; ce dualisme originel de tout organisme n’est, en physique générale, que le perfectionnement du phénomène si commun, tant étudié, encore hérissé de problèmes : la polarité. La • passage », comme le remarque Hegel, c’est la symétrie du cristal. Que disait Haiiy, père de la cristallogénie ? Il expliquait la symétrie du cristal par une disposition régulière des molécules autour de la figure du noyau, ou, comme il s’exprimait encore, autour de la molécule intégrante. Une des conditions de la symétrie, chez les végétaux, est l’axe médian. La tige, dont la grosseur peut varier depuis celle du cheveu jusqu’à une circonférence de 90 pieds, exprime la relation nécessaire de la plante avec son milieu atmosphérique et lumineux. Mais la plante est dépendante du sol. L’indépendance de l’animal lui faitre commencer toute une autre série d’axes nuls, contournés, multiples, avant d’arriver à l’axe spinal de l’homme et à sa station verticale. C est dans le corps humain que la symétrie, pour cette cause, est à la fois variée et une. Avant de détailler les formes de la lymétrie humaine, il faut en montrer la nécessité générale. Tout le monde sait que i’hy SYME
dre, collectivité non centralisée, revit dans un fragment de son corps. Mais peu de personnes savent qu’il existe une condition à cette revivification.il résulte des expériences d’Abraham Tremblay, en 1144, et de M. Laurent, en 1844, ce fait capital : les lambeaux du corps qui ne comprennent que la peau externe ou la peau interne ne reproduisent jamais de nouveaux individus ; la coexistence de ces deux téguments est indispensable pour la régénération (H. Favre). Avant d’être une condition de sensibilité, d’intelligence, de puissance, comme, chez l’homme, la symétrie a été une condition d’existence.
Bichat, après avoir montré que les deux vies animale et végétative sont peu séparées dans la soie, le turbot, etc., donne comme caractère différentiel de ces deux vies dans l’homme, que les organes de la vie animale sont symétriques, et que ceux de la vie végétative sont irréguliers. Non-seulement la symétrie double est évidente pour les organes pairs (yeux, oreilles, bras, jambes), mais les organes impairs (cerveau, organe du goût, de la génération, etc.), sont produits par l’accolement, autour d un axe médian, de deux moitiés d’organe dont la suture est souvent visible. Le cerveau, considéré en détail, a des parties paires latéralement, et, dans la ligne médiane, des parties impaires, les premières simplement, les secondes doublement symétriques. Au contraire, l’estomac, les intestins, le foie sont irrégulièrement disposés. L’appareil respiratoire a aussi ses irrégularités : différence des bronches en longueur, diamètre et direction, trois lobes à l’un des poumons, deux à l’autre, etc. À vrai dire, cette irrégularité des organes de la vie de nutrition et de respiration n’est point sans offrir un système général, puisque ces organes sont contenus dans une enveloppe symétrique, et que la station qui résulte de l’arrangement de ces parties symétriques et de ces parties irrégulières est une station droite. Ce système des organes de la vie végétative est le balancement, c’est-à-dire la loi d’équivalence substituée à la loi d’identité. Les organes de la vie végétative accomplissent chacun deux fonctions : tantôt recevoir et expulser (digestion), tantôt renvoyer et rapporter (circulation), etc. Au surplus, le rôle de la vie supérieure ou animale est de régulariser, de totaliser les forces acquises par la vie végétative.
Les viscères soiitsystéinatiquement irréguliers. Ne leur faut-il pas produire une plusvalue de force, une impulsion ? Les organes de la vie de relation sont réguliers pour coordonner et mettre à profit cette impulsion. On ne régularise que ce qui est irrégulier.
Cependant la symétrie de la nature est un sujet à peine étudié. De là viennent les tâtonnements pour l’application de la symétrie dans l’art. L’architecture, application de la matière inorganique à la moins complexe des fonctions, l’habitat, vit nécessairement par la symétrie, pourvu que celle-ci n’aille pas jusqu’aux fausses portes et fausses croisées. L’équivalence, contre-épreuve et complément de l’égalité, doit quelquefois délasser d’une symétrie rigoureuse. L’art des jardins, application d’une matière organisée, vivante, a la fonction déjà multiple de plaire, d’exciter et de reposer, doit se relâcher des rigueurs géométriques et par trop simplistes de Le Nôtre, sans tomber dans le fouillis du jardin anglais. Le dessinateur de jardins doit se proposer le but d’être un peintre en action, un créateur de panoramas réels. Le paysagiste a, de nos jours, heureusement abandonné le paysage symétrique. Il n’a, en effet, d’autre symétrie à respecter que celle des grandes masses. Taudis que, sous ie nom de dessin, de pose, de rhythme, une symétrie mouvementée et vivante fait-la loi du sculpteur, le peintre n’a à satisfaire, dans l’ordounance de ses personnages et de sa scène, qu’aux lois de l’idée restreintes à son but, qui est de raconter avec des formes, des couleurs et des mouvements. La symétrie déjà idéale de la peinture est réduite, eu musique, à ce minimum : que les œuvres musicales, étant par un certain côté, des œuvres de l’esprit, doivent présenter une certaine logique, un certain enchaînement de demandes et de réponses, de phrases plus ou moins continues, variées, répétées, une pondération du texte mélodique et du contexte harmonique, etc. La littérature est le domaine de la véritable symétrie, qui prend alors Les noms de pian, disposition du sujet, logique, comparaison, symbolisme, théorie et pratique, pensée et style, inspiration et méditation, etc. Le grand art littéraire, c’est que, dans la fusion d’éléments si divers, ou n’aperçoive pas même les traces de suture que se permet la nature dans son chef-d’œuvre, le corps humain.
SYMÉTB1QUE adj. (si-mé-tri-ke — rad. *^métrie). Qui a de la symétrie.■ Ordre, arrangement symétrique, il affecte des gestes symétriques. (Acad.) Tous tes êtres organisés sont SYMÉTRIQUES. (Ch. Martins.)
— Géom. Se dit de deux figures dont tous les points sont, deux à deux, à égale distance d’un point, d’une ligne ou d’un plan.
— Algèbre. Fonction symétrique, Fonction de plusieurs lettres telles, qu’on peut permuter deux quelconques d’entre elles sans que la fonction change.
— Zool. Se dit des animaux dont les orga SYME
nés similaires sont semblabtement disposés par rapport à un plan ou à un axe.
— Bot. Se dit d’une fleur susceptible d’être divisée par un plan en deux parties symétriques.
— Substantiv. Géom. Point, ligne, surface ou solide symétrique à un autre : Le symétrique d’un point, d’un angle trièdre. La symétrique d’une droite, d’une courbe.
— Eiicyci. Algèbre. Fonctions symétriques. Les sommes des puissances semblables sont les fonctions symétriques les plus simples ; on les note sous le symbole général 2on, qui signifie somme des ni*met puissances des lettres telles que a. Viennent ensuite les sommes des produits d’une puissance n de l’une des lettres par une puissance p d’une autre, ZanbP ; tes sommes des produits de trois, quatre, etc., puissances différentes des différentes lettres, sa"6Pcî, S«n6JJ< :W, etc. Les sommes, différences, produits, quotients, puissances et racines de fonctions symétriques des mêmes lettres fournissent évidemment d’autres fonctions symétriques de ces lettres. On peut donc en concevoir une infinité de toutes formes.
Toutes les fonctions symétriques de m mêmes lettres sont plus ou moins liées les unes aux autres. On ne peut évidemment en donner que m distinctes, ou, en d’autres termes, dès qu’on connaît les valeurs de m fonctions symétriques différentes de m lettres, les valeurs de toutes les autres fonctions symétriques de ces m leitres sont complètement déterminées. En effet, si l’on donne les valeurs de m fonctions symétriques de m lettres, on aura entre ces m lettres m équations distinctes, qui les détermineront et qui, par suite, détermineront toutes les autres fonctions des mêmes m lettres. Si, entre ces m équations, on élimine m— 1 des lettres, on aura i’équation dont les racines seraient les valeurs des m lettres ; car, quelles que soient les m — 1 lettres qu’on élimine, l’équation propre à déterminer la m.'leme sera toujours la même, en raison de la symétrie des formules.
Étant données m fonctions symétriques de m lettres, pour en former une autre définie à volonté, on pourrait, comme on vient de le supposer, former par élimination l’équation dont les racines seraient les valeurs des m lettres et former ensuite la fonction cherchée au moyen des coefficients de l’équation obtenue. Cette marche serait généralement la plus longue. On pourra souvent, à l’aide de combinaisons simples effectuées sur les fonctions données, arriver à la fonction inconnue ; mais, dans le cas contraire, il sera toujours préférable de former directement les coefficients de l’équation dont les racines seraient les valeurs des m lettres. Ces m
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coefficients étant eux-mêmes des fonctions symétriques des m lettres, on les formera, si Ion peut, directement, et, dans le cas contraire, on exprimera les m fonctions données en fonction de ces coefficients, ce qui fournira m équations propres à les déterminer.
On voit donc que toute la théorie des transformations des fonctions symétriques de m lettres les unes dans les autres se ramène à ce problème général : Former la valeur d’une fonction symétrique quelconque des racines d’une équation donnée.
Les coefficients A, A„ Aj, .... Am d’une équation
xm + A, iEm - » -f A, .x-"> - s -f-... +Àm = 0
sont des fonctions symeii iques connues des racines de cette équation :
A, = — la, A, = ïûft, A, = — labc, .... Am = abc — /.
Ainsi, donner les coefficients d’une équation de degré m, c’est donner m fonctions symétriques de ses racines ; la question est d’en déduire toutes les autres, et il est naturel que la question présentée de cette manière soit plus simple que de toute autre, puisque l’équation donnée ne fournit pas seulement m fonctions symétriques des racines, mais définit aussi ces racines directement.
Au lieu de chercher à former les fonctions plus compliquées par la combinaison des fonctions simples Sa, lab, etc., on aborde directement ia recherche des fonctions Sa", dont il est plus facile de former ensuite toutes les autres.
La méthode suivante, qui est due à Cauchy, est extrêmement simple. Elle est fondée sur cette remarque, que les coefficients de la dérivée du premier membre de l’équation proposée doivent être aussi des fonctions symétriques de ses racines. En exprimant de deux manières la dérivée et identifiant, on parvient presque immédiatement aux relations cherchées.
La dérivée est
mx'm-l + (m — i)'IX'm — 3 + (m - «JA, *» - 3 +... + A, „ , . Elle est aussi représentée pai
f(x) représentant le premier membre de l’équation proposée. Or, si l’on effectue la division de
Xm + h%3im — ’ -f A, xm ~ s ■ par x— a,
+ Am
xm + A,
f A, a
xm - 2 +
■ + Ar
CMI - 2
+ A, IIer*-3 —f A.ol + a'
on reconnaît immédiatement, par la composition des coefficients du quotient, que "xl «, »»-1j „i l-m—2 i „, i m —3j. a -, to — *.
ï l^L ^mxm-i + mA, {xm-3 + mA^xm~3 -t-wA, x-a + Sâl +A.SJ + A, S,
—r- :>, | -r-A.S,
+ S.
* +.
S, S, S4, ..., désignant les sommes des premières, secondes, troisièmes, ..., puissances des racines.
Il résulte de l’identification des deux formes de la dérivée
8. + A, =0,
S, -f A, S, + 2A, = 0, S, + AÂ + A, S, -|-3A, = 0 ;
la première de ces équations donne S, la seconde donnera ensuite S, la troisième fera connaître S„ et ainsi de suite.
L’origine de ces équations paraîtrait en devoir borner le nombre a m — i, puisque la dérivée n’a que m — 1 coefficients littéraux ; mais il est aisé de voir que la même loi de formation peut être prolongée indéfiniment, car, en introduisant dans l’équation proposée des racines milles en nombre suffisant, on en élèvera le degré autant qu’on voudra, sans changer les sommes dis puissances semblables de ses racines. Il faut remarquer, au reste, que, les derniers coefficients de l’équation transformée étant nuls, les équations qui donneront Sm, &m+ i, Sm-t-2> etc-> n’auront plus chacune que m termes. Sm sera donné par l’équation
Sffî + A.Sm — i ■+-... + mAM»0 ; Sj» + i >e sera par
Sm + 1+ A’Sra +■ AiSj« — i +...+ AmS, = 0, et, eu général, Sm +. p par
Sm + y-J-A^ni-j-j) — j +■ AjSbi-J-jj — a 4- •■• + AmSp = 0,
Toutes les sommes des puissances entières et positives des racines peuvent donc être obtenues par la même règle. Quant aux sommes des puissances entières, m.iis négatives de ces racines, on pourrait les former d’une manière analogue au moyen des coefficients de l’équation dont les racines seraient les inverses de celles de la proposée, équation que l’on obtiendrait en changeant x
en - dans la proposée, c’est-à-dire en en renx versant les coefficients, divisés préalablement par le dernier d’entre eux Am. Mais il est encore plus simple de former directement ces sommes au moyen des mêmes équations qui ont donné les sommes des puissances entières. L’équation proposée
x™-- A, !»’ - l + A, xm - 2 +... -f- Am = 0
peut s’écrire, en divisant par xi,
xm-g + AiX'm-q-l + é> j Amœ- ? = o ;
elle donne donc
Sm — q + A, Sm q i -{-... -f AmS 5 = 0,
qui rentre, par sa forme, dans les précédentes.
On peut doue exprimer toutes les fonctions symétriques, de la forme Snn, des racines d’une équation, en fonction desescoeftiieents.
Pour obtenir une fonction de la forme
ZanbP,
on multipliera les deux fonctions Zan et 2aP, ce qui donnera évidemment lanoP augmenté deïan+îl ; il ne restera donc qu’à retrancher £on+ ?, On formera de même ZanoPci au moyen du produit ïan^P x la» ; coproduit se composera de la fonction cherchée
XanbPcQ
augmentée de ïan + doP et de ïa"6îi + 1, qu’il suffira de retrancher. La même méthode pourra évidemment être prolongée tan.t qu’on voudra ; elle n’exige qu’une seule explication nouvelle, pour le cas où deux ou plusieurs exposants seraient égaux. Par exemple, en multipliant ïa" par ia", on obtiendrait
Sn2n-r-2ïunAn.
On aurait donc à diviser par : lu différence
Sa" x Za" — la'2n.
