B1. On a un ensemble fermé contenu à l’intérieur d’un intervalle ; on suppose connues des totales de pour les divers intervalles contigus à et contenus dans : si la série fournie par ces totales est convergente et, si est sommable sur par rapport à on prend
![{\displaystyle {\textstyle \sum \left[\mathrm {F} (\beta -0)-\mathrm {F} (\alpha +0)\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3139539d847bbf37e7235a010584be8447cabdb)
![{\displaystyle \int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} \left[\alpha (x)\right]={\textstyle \sum \left[\mathrm {F} (\beta -0)-\mathrm {F} (\alpha +0)\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23550e865de1b6f0d222edb5aa4d33aa546a1e89)
comme totale indéfinie de dans .
Pour que soit totalisable par rapport à il faut : 1o que l’opération A1 donne une fonction pour laquelle et existent ; 2o que quel que soit l’ensemble fermé , il existe un intervalle contenant des points de à son intérieur et dans lequel sont vérifiées les conditions nécessaires à l’opération B1.
De la définition il résulte aussi que : une fonction est une totale indéfinie par rapport à si, et seulement si :
1o Elle n’admet que des points de discontinuité de première espèce ;
2o Quel que soit un ensemble fermé, la fonction égale à sur , linéaire dans les intervalles contigus à et admettant en chaque point de les mêmes sauts que est absolument continue, dans un intervalle contenant des points de à son intérieur, par rapport à la fonction déduite de , comme est déduite de .
Enfin, des relations entre une intégrale indéfinie par rapport à et la fonction intégrée , il résulte que la totale indéfinie, prise par rapport à , d’une fonction admet pour dérivée approximative par rapport à , sauf aux points d’un ensemble de mesure nulle par rapport à la variation totale de .
Par dérivée approximative de par rapport à , en un point , nous entendons la limite du rapport
