INTRODUCTION.
espèce, on pourra toujours trouver la constante K de manière que pour V=-.f f- K’f on ait K(jf # + o)= F(x — o). C’est-à-dire que, au point jf , il ne subsiste plus qu’une discontinuité en quelque sorte artificielle. Bien de pareil n’existe pour les autres points de discontinuité qu’on appelle points de discontinuité de seconde espèce.
Cette propriété permet, dans certains cas, de conclure pour tous les points de première espèce en s’appuyant sur l’étude d’un point de première espèce particulier (n°31).
2. Points réguliers. — Nous dirons que x est un point régulier pour f si /(x -f- o) elf(.r — o) existent et sont tels que
f(x»-*-o) -+-f(ar — o) = *f(r ) ;
tous les points de continuité sont des points réguliers.
Tous les points réguliers sont comparables au sens du numéro précédent ; la discontinuité artificielle dont il a été parlé n’existe même plus. La propriété de ces points qui nous servira le plus est la suivante : la fonction phi(t) définie par l’égalité
phi(t) = f(x_0 + -’*t) +/{*<> — a/) — 2 f(x_0),
est continue pour t = 0.
3. Fonctions monotones ; conditions de Dirichlet. — On dit que f(x) est une fonction partout non décroissante ou, plus brièvement, que f(x) est une fonction croissante si, quels que soient x_1 et x_2 on a
(x_1 - x_2) |f(x_1) - f(x_2)| >= 0.
f(x) ne décroissant jamais, quand x croît, et ne croissant jamais quand x décroît, f(x % -r~ o) ei/(x 9 — o) existent toujours ; une fonction croissante n*a donc jamais de points de discontinuité de seconde espèce. Ses points de discontinuité forment d’ailleurs toujours un ensemble dénombrable, car, si l’on a
a < x_1 < x_2 < . . . < x_n < b,
on a aussi
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