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pendiculaire sur l’autre parallèle $CD,$ et joignons les extrémités $E$ et $C$ des deux perpendiculaires par la ligne $EC.$ L’angle $BAC$ doit être aigu (prop. 22) ; donc une perpendiculaire $CG,$ abaissée du point $C$ sur $AB,$ tombera en un point $G,$ situé, par rapport à $CA,$ du même côté que la direction suivant laquelle $AB$ et $CD$ sont considérées comme parallèles. Toute ligne $EH,$ s’écartant si peu que ce soit de $EF,$ appartiendra, avec la ligne $EC,$ à un plan qui devra couper le plan des deux parallèles $AB,\,CD$ le long d’une ligne quelconque $CH.$ Cette dernière ligne rencontrera $AB$ quelque part, et ce sera au même point $H,$ commun au trois plans, et par lequel la ligne $EH$ devra aussi nécessairement passer. Donc $EF$ est parallèle à $AB.$ On démontrera de la même manière le parallélisme de $EF$ et de $CD.$

La supposition qu’une ligne $EF$ est parallèle à l’une des deux autres droites parallèles entre elles $AB,\,CD,$ revient donc à considérer $EF$ comme l’intersection de deux plans contenant les deux parallèles $AB,\,CD\,;$ par conséquent, deux lignes sont parallèles entre elles, lorsqu’elles sont parallèles à une même troisième, bien qu’elles ne soient pas situées toutes les trois dans un même plan. Ce dernier théorème peut encore s’énoncer de la manière suivante : les intersections de trois plans deux à deux sont trois droites parallèles entre elles, toutes les fois que l’on suppose le parallélisme de deux de ces droites.

26 — Deux triangles opposés sur la surface de la sphère ont même surface.

Nous entendons ici par triangles opposés ceux qui sont formés par les intersections de la surface sphérique avec les trois mêmes plans, de part et d’autre du centre. Dans ces triangles, les côtés et les angles ont donc deux à deux une direction opposée.

Dans les triangles opposés $ABC,A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }$ (fig. 14, où l’un de ces triangles doit être considéré comme retourné), on a entre les côtés les égalités $AB=A^{\prime }B^{\prime },$ $BC=B^{\prime }C^{\prime },$ $CA=C^{\prime }A^{\prime },$ et les angles en $A,\,B,\,C$ sont égaux à leurs correspondants en $A^{\prime },\,B^{\prime },\,C^{\prime },$ dans l’autre triangle. Par les trois points $A,\,B,\,C,$ imaginons que l’on mène un plan, et que sur ce plan l’on abaisse du centre de la sphère une perpendiculaire, dont les prolongements dans les deux sens rencontrent les deux triangles opposés aux points $D$ et $D^{\prime }$ de la surfa-

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