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${\begin{alignedat}{2}{\frac {dx}{d\beta }}&=\mathrm {\left(BA'-AB'\right)} y&&+\mathrm {\left(BA''-AB''\right)} z,\\{\frac {dy}{d\beta }}&=\mathrm {\left(B'A-A'B\right)} x&&+\mathrm {\left(B'A''-A'B''\right)} z,\\{\frac {dz}{d\beta }}&=\mathrm {\left(B''A-A''B\right)} x&&+\mathrm {\left(B''A'-A''B'\right)} y\,;\end{alignedat}}$

en vertu de l’équation (9), nous aurons donc

$(\beta )=\mathrm {\left(BA'-AB'\right)} .\sum \left[y(x)-x(y)\right]+\mathrm {\left(B''A-A''B\right)} .\sum \left[x(z)-z(x)\right]$

$+\mathrm {\left(B'A''-A'B''\right)} .\sum \left[z(y)-y(z)\right]\,;$

ou, ce qui est la même chose,

$(\beta )dt=\mathrm {\left(AB'-BA'\right)} dl+\mathrm {\left(A''B-B''A\right)} dl+\mathrm {\left(A'B''-B'A''\right)} dl''.$

Or on sait et il est aisé de vérifier que

${\begin{aligned}&\mathrm {AB'-BA'=C''} =cos.\gamma ,\\&\mathrm {A''B-B''A=C'} =cos.\alpha .sin.\gamma ,\\&\mathrm {A'B''-B'A''=C} =sin.\alpha .sin.\gamma \,;\end{aligned}}$

on aura donc enfin

$(\beta )dt=cos.\gamma .dl+cos.\alpha .sin.\gamma .dl'+sin.\alpha .sin.\gamma .dl''.\qquad$(10)

2^o Je différencie les valeurs de $x,\,y,\,z,$ par rapport à $\gamma \,;$ il vient

${\begin{aligned}{\frac {dx}{d\gamma }}&=(\mathrm {A} 'p+\mathrm {B} ''q+\mathrm {C} ''r).sin.\alpha =z.sin.\alpha ,\\{\frac {dy}{d\gamma }}&=(\mathrm {A} 'p+\mathrm {B} 'q+\mathrm {C} ''r).cos.\alpha =z.cos.\alpha ,\\{\frac {dz}{d\gamma }}&=-(p.sin.\beta +q.cos.\beta )cos.\gamma -r.sin.\gamma \,;\end{aligned}}$

mettant pour $p,\,q,\,r,$ leurs valeurs dans cette dernière