Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 1.djvu/297

$\alpha =lv,\qquad {\frac {gt^{2}l}{4x^{2}}}=k\,:$

dans le cas que nous examinons, $k$ sera une quantité qui pourra avoir une valeur quelconque, puisque ${\frac {gt^{2}}{4x}}$ est supposée très-grande et du même ordre que ${\frac {x}{l}}.$ Nous aurons

${\begin{aligned}{\frac {t{\sqrt {g}}}{2(x-\alpha )^{\frac {3}{2}}}}&={\frac {\sqrt {k}}{\sqrt {l}}}\left({\frac {1}{\sqrt {x}}}+{\frac {3}{2}}.{\frac {lv}{x{\sqrt {x}}}}+{\text{etc}}.\right),\\{\frac {gt^{2}}{4(x-\alpha )}}&={\frac {gt^{2}}{4x}}+kv+{\frac {klv^{2}}{x}}+{\text{etc}}.,\\{\frac {4}{gt^{2}}}&={\frac {l}{kx^{2}}}\,;\end{aligned}}$

et si nous supposons la fraction ${\frac {l}{x}}$ assez petite pour qu’on puisse négliger tous les termes dont elle est facteur, l’équation précédente se réduira à

$z'={\frac {h{\sqrt {kl}}}{\sqrt {2\pi \,x1}}}.\left[\left(cos.{\frac {gt^{2}}{4x}}+sin.{\frac {gt^{2}}{4x}}\right).\int \left(1-v^{2}\right).cos.kv.dv\right.$

$\left.\left(cos.{\frac {gt^{2}}{4x}}-sin.{\frac {gt^{2}}{4x}}\right).\int \left(1-v^{2}\right).sin.kv.dv\right]\,;$

les intégrales étant prises depuis $v=-1$ jusqu’à $v=1.$ Mais entre ces limites, l’intégrale $\int \left(1-v^{2}\right).sin.kv.dv$ est nulle, parce qu’elle est la somme d’élémens deux à deux égaux et de signes contraires ; d’ailleurs, par les méthodes connues, on trouve

$\int \left(1-v^{2}\right).cos.kv.dv.={\frac {4}{k^{3}}}(sin.k-k.cos.k)\,;$

on aura donc enfin