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quantité $h$ doit être assez petite, relativement à $2l$ et à $2l'.$

Cette valeur de $z'$ est celle de la fonction $f(x,y)$ (n^o 30) dans les limites de l’ébranlement primitif ; hors de ces limites, cette fonction sera égale à zéro. Mettant $\alpha$ et $\beta ,$ à la place de $x$ et $y,$ nous aurons de même

$f(\alpha ,\beta )=h\left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{l^{2}}}-{\frac {\beta ^{2}}{l^{'2}}}\right)\,;$

au moyen de quoi l’équation (a) deviendra

$\varphi ={\frac {h{\sqrt {g}}}{\pi ^{2}}}\iiiint \left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{l^{2}}}-{\frac {\beta ^{2}}{l^{'2}}}\right)e^{-zu}cos.(u\rho .cos.\omega )$

$.sin.\left(t{\sqrt {gu}}\right).{\sqrt {u}}\,du\,d\omega \,d\alpha \,d\beta \,;$

et maintenant la double intégration, relative à $\alpha$ et $\beta ,$ ne devra plus s’étendre qu’aux valeurs de ces coordonnées qui répondent à des points compris dans l’aire de l’ellipse dont l’équation est

$1-{\frac {\alpha ^{2}}{l^{2}}}-{\frac {\beta ^{2}}{l^{'2}}}=0.$

Pour avoir égard à ces limites, nous remplacerons $\alpha$ et $\beta ,$ par deux autres variables $s$ et $\psi ,$ telles que l’on ait

$\alpha =ls.cos.\psi ,\qquad \beta =l's.sin.\psi ,$

et nous étendrons les valeurs de $s,$ depuis $s=0$ jusqu’à $s=1,$ et celles de $\psi ,$ depuis $\psi =0$ jusqu’à $\psi =2\pi .$ Par les règles connues de la transformation des intégrales doubles, on trouve

$d\alpha \,d\beta =ll's\,dsd\psi \,;$

par conséquent on aura

$\varphi ={\frac {hll'{\sqrt {g}}}{\pi ^{2}}}\iiiint \left(1-s^{2}\right)e^{-zu}cos.(u\rho .cos.\omega )$

$.sin.(t{\sqrt {gu}}).s{\sqrt {u}}.du\,ds\,d\omega \,d\psi \,;\quad$(d)