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et désigné par $\mathrm {P} _{1}$ et $\mathrm {Q} _{1},$ ce que deviennent $p_{1}$ et $q_{1},$ quand on y remplace $f$ et $f'$ par $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} '.$

(10) Les sommes des formules (18) et (19) seront les expressions complètes de $u$ et $v$ qu’il s’agissait d’obtenir. Il ne restera donc plus qu’à les substituer dans les équations (2), pour avoir les valeurs de $\varphi$ et $\varphi '$ qui répondent au cas où les deux fluides superposés s’étendent indéfiniment en tous sens. Ces valeurs se trouveront exprimées par des intégrales sextuples dont chaque élément satisfera isolément aux équations (1). Pour la valeur particulière $x=h,$ on a

${\frac {1}{a^{2}}}p={\frac {1}{a'^{2}}}q,\qquad {\frac {1}{a^{2}}}p_{1}={\frac {1}{a'^{2}}}q_{1},\qquad {\frac {dp}{dx}}={\frac {dq}{dx}},\qquad {\frac {dp_{1}}{dx}}={\frac {dq_{1}}{dx}},$

et de même à l’égard de $\mathrm {P,Q,P_{1},Q_{1}} \,;$ au moyen de quoi les équations relatives à la surface de contact des deux fluides, sont aussi vérifiées. Quant aux équations qui répondent à $x=h-k$ et $x=h+l,$ elles disparaissent dans le cas de $k=\infty$ et $l=\infty \,;$ par conséquent les expressions de $\varphi$ et $\varphi '$ dont il s’agit, satisfont effectivement à toutes les équations différentielles du problème.

Dans le cas de $a'=a,$ les formules (19) s’évanouissent. En effet, supposons que la différence $a-a'$ ne soit qu’infiniment petite ; faisons

$a^{2}-a'^{2}=c^{2},\qquad \delta =c\delta ',\qquad \alpha '=c\omega ,\qquad d\alpha '=cd\omega \,;$

$\delta '$ sera une quantité finie, et l’intégrale relative à $\omega$ aura $\omega =0$ et $\omega =\delta '$ pour limites ; mais, en même temps, $c^{2}$ sera facteur de $\mathrm {P_{1},P_{1},Q_{1},Q_{1}} ,$ et $c$ facteur de $u$ et $v$ qui s’évanouiront conséquemment avec cette quantité. De plus on aura $\alpha '=\alpha ,$ et par suite