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et les relations (2) (3) feront connaître $\lambda ,\sigma ',\sigma ''\,;$ on sera donc en état d’évaluer le second membre de la série (A’), et par conséquent de conclure la valeur de la ligne géodésique.

IX^e cas. Étant donnés les angles azimutaux $\mathrm {V'V''}$ et la différence en longitude $\varphi ,$ résoudre le triangle.

Solution. Adoptons en tout point la notation précédente et faisons $\omega =\varphi +\mu \,;$ le triangle sur la sphère inscrite donnera

$\cos .\mathrm {V} '=\cos .\mathrm {V} ''\cos .(\varphi +\mu )-\sin .\mathrm {V} ''\sin .\lambda ''\sin .(\varphi +\mu ),$

ainsi

$\lambda ''=\mathrm {L} '''+\left({\frac {d\lambda ''}{d\mu }}\right)\mu +\left({\frac {d^{2}\lambda ''}{d\mu ^{2}}}\right)\mu ^{2}+\ldots ,$

série dans laquelle $\mathrm {L} ''$ désigne la valeur de $\lambda ''$ correspondante à $\mu =0.$ Opérant la différenciation dans cette hypothèse, il vient

$\left({\frac {d\lambda ''}{d\mu }}\right)=\mathrm {\frac {-(\cot .V''+\cot .\varphi \sin .L'')}{\cos .L''}} =\mathrm {M} ,$

et en s’arrêtant aux termes du premier ordre, on a

$\lambda ''=\mathrm {L''+M} \mu \ldots .$

Bien entendu que $\mathrm {L} ''$ se tirera de

$\sin .\mathrm {L} ''=\mathrm {\frac {\cos .V''\cos .\varphi -\cos .V'}{\sin .V''\sin .\varphi }} .$

On sait d’ailleurs que

$\mathrm {\cos .\lambda =\cos .\lambda ''\sin .V''=\sin .V''\cos .(L''+M\mu )} ,$

ainsi on aura, en faisant $\cos .\lambda _{0}=\mathrm {\sin .V''\cos .L''} ,$

$\cos .\lambda =\cos .\lambda _{0}-\mathrm {M} \mu \cos .\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} '',$