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et de plus

$\int _{0}^{2\pi }{\frac {d^{2}\varpi }{d\omega ^{2}}}d\omega =0,$

à cause que les valeurs de ${\frac {d\varpi }{d\omega }}$ qui répondent à $\omega =0$ et $\omega =2\pi ,$ sont égales entre elles. On aura donc simplement

$\int _{0}^{at}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {d^{2}\varpi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varpi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varpi }{dz^{2}}}\right)\rho \sin .\theta \,d\rho \,d\theta \,d\omega$

$={\frac {d.}{dt}}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\varpi 't\sin .\theta \,d\theta \,d\omega -4\pi f(x,y,z).$

Donc, en vertu de l’équation (15), et en faisant

$\varphi +f(x,y,z)=\varphi _{1},$

la formule (14) deviendra

${\begin{aligned}\varphi _{1}&={\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\operatorname {F} \left(x+at\cos .\theta ,y+at\sin .\theta \sin .\omega ,\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.z+at\sin .\theta \cos .\omega \right)t\sin .\theta d\theta \,d\omega ,\\&+{\frac {1}{4\pi }}{\frac {d.}{dt}}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }f\left(x+at\cos .\theta ,y+at\sin .\theta \sin .\omega ,\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.z+at\sin .\theta \cos .\omega \right)t\sin .\theta \,d\theta \,d\omega \,;\end{aligned}}$

(16)

ce qui est effectivement vrai, en observant qu’on a

$\varphi =0,\qquad \varphi _{1}=f(x,y,z),\qquad {\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {d\varphi _{1}}{dt}}=\operatorname {F} (x,y,z),$

quand $t=0,$ et que l’équation (8) se change en celle-ci :

${\frac {d^{2}\varphi _{1}}{dt^{2}}}=a^{2}\left({\frac {d^{2}\varphi _{1}}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi _{1}}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi _{1}}{dz^{2}}}\right),$

dont l’intégrale complète est l’équation (16), d’après la formule (10) citée plus haut.