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$\left.{\begin{aligned}{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}&=a^{2}\left({\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {d^{2}v}{dxdy}}+{\frac {2}{3}}{\frac {d^{2}w}{dxdz}}+{\frac {1}{3}}{\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+{\frac {1}{3}}{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}\right),\\{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}&=a^{2}\left({\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}\,+{\frac {2}{3}}{\frac {d^{2}u}{dxdy}}+{\frac {2}{3}}{\frac {d^{2}w}{dydz}}+{\frac {1}{3}}{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {1}{3}}{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right),\\{\frac {d^{2}w}{dt^{2}}}&=a^{2}\left({\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {d^{2}u}{dxdz}}+{\frac {2}{3}}{\frac {d^{2}w}{dydz}}+{\frac {1}{3}}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+{\frac {1}{3}}{\frac {d^{2}w}{dy^{2}}}\right),\end{aligned}}\right\}$

(2)

dont nous allons nous occuper spécialement.

Indépendamment des équations (1) ou (2), communes à tous les points du corps, il en existe d’autres qui n’ont lieu que pour les parties de sa surface, libres ou assujetties à des conditions données. Mais nous supposerons infini en tous sens, le milieu dans lequel il s’agit de considérer la propagation du mouvement ; ce qui nous dispensera d’avoir égard à ces équations particulières.

(13) On satisfait aux équations (2), en faisant, pour abréger,

$\alpha (x-x')+\beta (y-y')+\gamma (z-z')=\delta ,$

et prenant ensuite

$\left.{\begin{aligned}u&=\left(\mathrm {A} \cos .\rho \lambda at+\mathrm {A} '{\frac {\sin .\rho \lambda at}{\rho \lambda a}}\right)\cos .\rho \delta ,\\v&=\left(\mathrm {B} \cos .\rho \lambda at+\mathrm {B} '{\frac {\sin .\rho \lambda at}{\rho \lambda a}}\right)\cos .\rho \delta ,\\w&=\left(\mathrm {C} \cos .\rho \lambda at+\mathrm {C} '{\frac {\sin .\rho \lambda at}{\rho \lambda a}}\right)\cos .\rho \delta \,;\end{aligned}}\right\}$

(3)

$\mathrm {A,A',B,B',C,C'} ,\alpha ,\beta ,\gamma ,\rho ,x',y',z',$ étant des constantes dont les quatre dernières sont entièrement arbitraires, et les neuf autres sont liées entre elles par les équations :

${\begin{alignedat}{3}3\mathrm {A} \lambda ^{2}&=\mathrm {A} \left(3\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)&&+2\mathrm {B} \alpha \beta &&+2\mathrm {C} \alpha \gamma ,\\3\mathrm {B} \lambda ^{2}&=\mathrm {B} \left(3\beta ^{2}+\alpha ^{2}+\gamma ^{2}\right)&&+2\mathrm {A} \alpha \beta &&+2\mathrm {C} \beta \gamma ,\\3\mathrm {C} \lambda ^{2}&=\mathrm {C} \left(3\gamma ^{2}+\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)&&+2\mathrm {A} \alpha \gamma &&+2\mathrm {B} \beta \gamma ,\end{alignedat}}$