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$\left.{\begin{aligned}u&=\left[\mathrm {A} \cos .\rho at+\mathrm {A} '{\frac {\sin .\rho at}{\rho a}}-\mathrm {\left({\frac {B\beta }{\alpha }}+{\frac {C\gamma }{\alpha }}\right)} \cos .\rho bt\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \left.-\mathrm {\left({\frac {B'\beta }{\alpha }}+{\frac {C'\gamma }{\alpha }}\right)} {\frac {\sin .\rho bt}{\rho b}}\right]\cos .\rho \delta ,\\v&=\left({\frac {\mathrm {A} \beta }{\alpha }}\cos .\rho at+{\frac {\mathrm {A} '\beta }{\alpha }}{\frac {\sin .\rho at}{\rho a}}+\mathrm {B} \cos .\rho bt+\mathrm {B} '{\frac {\sin .\rho bt}{\rho b}}\right)\cos .\rho \delta ,\\w&=\left({\frac {\mathrm {A} \gamma }{\alpha }}\cos .\rho at+{\frac {\mathrm {A} '\gamma }{\alpha }}{\frac {\sin .\rho at}{\rho a}}+\mathrm {C} \cos .\rho bt+\mathrm {C} '{\frac {\sin .\rho bt}{\rho b}}\right)\cos .\rho \delta ,\end{aligned}}\right\}$

(4)

où l’on a mis $b$ à la place de ${\frac {a}{\sqrt {3}}}.$

Les deux angles $\theta$ et $\omega ,$ les quatre quantités $\rho ,x',y',z',$ et les six coefficients $\mathrm {A,A',B,B',C,C'} ,$ que renferment les formules (4), sont douze indéterminées auxquelles on pourra donner toutes les valeurs que l’on voudra ; et à raison de la forme linéaire des équations (2), on pourra prendre pour $u,v,w,$ des sommes $\sum$ de ces formules, étendues à toutes les valeurs de ces douze indéterminées. Nous pourrons aussi considérer une partie de ces quantités, par exemple, les six coefficients $\mathrm {A,A',B,B',C,C'} ,$ comme des fonctions arbitraires des six autres indéterminées ; faire croître celles-ci par degrés infiniment petits ; multiplier sous les signes $\sum$ par leurs différentielles, et remplacer les signes $\sum ,$ par des intégrales sextuples, relatives à $x',y',z',\rho ,\theta ,\omega .$ Cela étant, nous regarderons $x',y',z',$ comme les trois coordonnées rectangulaires d’un point quelconque de l’espace ; nous multiplierons par l’élément de volume $dx'dy'dz'\,;$ puis nous étendrons l’intégrale relative à $x',y',z',$ à tous les points de l’espace, en sorte qu’elle aura pour limites $\pm \infty ,$ pour chacune de ces variables. Nous regarderons aussi $\rho ,\theta ,\omega ,$ comme les trois coordonnées polaires d’un point de l’espace ; $\rho$ étant son rayon vecteur, $\theta$ et $\omega$ les deux angles qui en détermi-