Jean Bernouilli a ensuite proposé et résolu le problème de la Brachystochrone, dont il suffit de rappeler le titre et qu’on peut regarder comme l’origine de cette longue suite de travaux des géomètres, qui a eu pour objet les maxima et minima des intégrales. Bientôt après, à la condition du maximum ou de minimum, on en joignit une autre ; et l’on demanda que la courbe inconnue eût une longueur donnée ; circonstance qui a fait donner à ce genre de questions, devenues par la suite beaucoup plus générales, la dénomination particulière de problème des isopérimètres. On sait que Jean Bernouilli ne comprit pas d’abord la différence essentielle de ce nouveau problème et de celui des maxima absolus, et que c’est à son frère Jacques Bernouilli, que l’on doit la première solution exacte de cette question difficile.
Les méthodes imaginées par les Bernouilli et Taylor pour déterminer les maxima des intégrales, soit absolus, soit relatifs, ont été perfectionnées par Euler et réunies dans l’un de ses plus beaux ouvrages, celui qui a pour titre : Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti. On y trouve des formules générales et réduites à leur expression la plus simple, que l’auteur a déduites de considérations très-délicates, et au moyen desquelles on peut déterminer, dans tous les cas, la courbe du maximum ou de minimum entre deux points fixes et donnés. Euler ne s’occupe pas, dans cet ouvrage, du cas où l’intégrale que l’on considère doit être un maximum, non-seulement par rapport à la forme de la courbe, mais aussi par rapport à ses deux extrémités. On regardait alors cette
