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réduira ensuite, par le procédé de l’intégration par partie, \delta\mathrm U à la forme

$\mathrm {C} +\int _{x_{0}}^{x_{1}}\mathrm {X} \omega dx\,;$

$\mathrm {C}$ étant une constante et $\mathrm {X}$ une quantité indépendante de $\omega \,:$ les équations différentielles d’où dépendront les valeurs de $y$ relatives au maximum ou au minimum de $\mathrm {U}$ seront alors $\mathrm {X} =0$ et $\mathrm {L} =0.$ Mais on peut éviter l’intégration de l’équation (8), qui ne serait possible que dans des cas très-particuliers, et parvenir, d’une autre manière, à trois équations différentielles entre $y$ et $z,$ et une inconnue auxiliaire.

En effet, en ayant égard à l’équation $d\mathrm {V} =0$ et aux expressions de $\delta y^{(i)}$ et $\delta z^{(i)},$ la valeur de $\delta \mathrm {V}$ du n^o 7 deviendra

$\delta \mathrm {V} =\mathrm {N} \omega +\mathrm {P} \omega '+\mathrm {Q} \omega ''+{\text{etc}}.+n\varphi +p\varphi '+q\varphi ''+{\text{etc}}.,$

et sans altérer cette valeur, on y peut ajouter le premier membre de l’équation (8), multiplié par un facteur quelconque à ; ce qui donne

$\delta \mathrm {V} =(\mathrm {N} +\lambda \alpha )\omega +(\mathrm {P} +\lambda \beta )\omega '+(\mathrm {Q} +\lambda \gamma )\omega ''+{\text{etc}}.$

$+(n+\lambda \mu )\varphi +(p+\lambda \nu )\varphi '+(q+\lambda \varpi )\varphi ''+{\text{etc}}.$

Cela étant, l’expression de $\delta \mathrm {U}$ se réduira à la forme

$\delta \mathrm {U} =\Delta +\int _{x_{0}}^{x_{1}}(\mathrm {E} \omega +\mathrm {F} \varphi )dx\,;$

$\Delta ,\,\mathrm {E,\,F} ,$ étant des quantités qui se déduiront de $\Gamma ,\,\mathrm {H,\,K} ,$ par le changement de $\mathrm {N,\,P,\,Q} ,\,etc.,$ $\mathrm {n,\,p,\,q} ,\,etc.,$ en $\mathrm {N} +\lambda \alpha ,\,\mathrm {P} +\lambda \beta ,\,\mathrm {Q} +\lambda \gamma ,\,{\text{etc}}.,$ $n+\lambda \mu ,\,p+\lambda \nu ,\,q+\lambda \varpi ,\,{\text{etc}}.$ Or, l’introduction du facteur indéterminé $\lambda ,$ permettra de