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prendra toutes les questions relatives au maximum ou au minimum absolu d’une intégrale relative à une seule variable indépendante. Il est facile d’en faire l’application aux différents cas qu’Euler avait déjà traités, par d’autres moyens, dans le Methodus inveniendi, etc. Ainsi, en désignant part, une fonction donnée de $x,\,y,\,y',\,y'',$ etc., et prenant successivement

$\mathrm {L} =z'-t,\qquad \mathrm {L} =z''-t,\qquad \mathrm {L} =z'''-t,$ etc.,

on aura les cas où $\mathrm {V}$ renferme une intégrale indéfinie, simple, double, triple, etc., savoir :

$\int tdx,\qquad \iint tdx^{2},\qquad \iiint tdx^{3},$ etc.

En désignant par $\sigma$ une seconde fonction donnée de $x,\,y,\,y',\,y'',$ etc., et prenant

$\mathrm {L} =z'+tz-\sigma ,$

on aura le cas où $\mathrm {V}$ contient une quantité donnée par une équation linéaire du premier ordre ; ce qui comprend, comme on sait, le problème de la brachystochrone dans un milieu résistant suivant la loi du carré de la vitesse.

Si l’on prend $z=t,$ ce qui répond à $\mathrm {L} =z-t,$ on aura $\mu =1,\,\nu =0,$ $\varpi =0,$ etc., et la seconde équation (9) deviendra

$\lambda =-n+p'-q''+$etc.

Mais, dans ce cas, $\mathrm {V}$ sera une fonction donnée de $x,\,y,\,y',\,y'',$ etc., $t,\,t',\,t'',$ etc., réductible à une autre fonction de $x,\,y,\,y',\,y'',$ etc., puisque $t,$ et par suite, $t',\,t'',$ etc., sont, par hypothèse, des fonctions données de ces premières quantités ;