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tion $\mathrm {H} =0$ est nécessaire, mais qu’elle est suffisante pour l’intégrabilité de $\mathrm {V} dx.$ Voici une autre manière de démontrer cette seconde partie de la proposition, qui me paraît plus simple, et qui a, en outre, l’avantage de conduire à une expression sous forme finie, de l’intégrale de $\mathrm {V} dx,$ lorsque la condition $\mathrm {H} =0$ est remplie.

Soit $\omega$ une fonction de $x,$ arbitraire et infiniment petite ; désignons par $n$ un nombre entier et positif, ou zéro ; mettons $n\omega ,\,n\omega ',\,n\omega '',$ etc., à la place de $y,y',y'',$ etc., dans $\mathrm {V} ,$ en sorte qu’on ait

$\mathrm {V} =\operatorname {F} (x,n\omega ,n\omega ',n\omega '',{\text{etc}}.)\,;$

prenons ensuite l’intégrale de $\mathrm {V} dx,$ depuis une constante $c,$ jusqu’à la valeur variable de $x,$ et faisons

$\mathrm {X} ^{(n)}=\int _{c}^{x}\operatorname {F} (x,n\omega ,n\omega ',n\omega '',{\text{etc}}.)dx.$

L’équation $\mathrm {H} =0$ étant identique par hypothèse, elle subsistera quel que soit $n,$ quand on y fera $y=n\omega ,\,y'=n\omega ',\,y''=n\omega '',$ etc. Soit de plus

${\begin{alignedat}{4}\mathrm {P} -&\mathrm {Q} '&&+\mathrm {R} ''&&-{\text{etc}}.&&=\Phi (x,n\omega ,n\omega ',{\text{etc}}.),\\&\,\mathrm {Q} &&-\mathrm {R} '&&+{\text{etc}}.&&=\Psi (x,n\omega ,n\omega ',{\text{etc}}.),\\&&&\ \quad \mathrm {R} &&-{\text{etc}}.&&=\Pi (x,n\omega ,n\omega ',{\text{etc}}.),\\&&&&&\;\quad {\text{etc}}.\,;\end{alignedat}}$

$\mathrm {P,\,Q,\,R} ,$ etc., désignant les mêmes quantités que dans le n^o 2. La difference $\mathrm {X} ^{(n+1)}-\mathrm {X} ^{(n)}$ sera la variation donnée par la formule (3), dans laquelle on fera $\delta x=0,$ parce que les limites $c$ et $x$ sont les mêmes pour $\mathrm {X} ^{(n)}$ et pour $\mathrm {X} ^{(n+1)},$ et où l’on mettra $naow,n\omega ',n\omega '',$ etc., à la place de $y,y',y'',$ etc. À