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Les variations de ces sommes, provenant des accroissements arbitraires de $y$ et $z,$ et des variations $\delta x_{0}$ et $\delta x_{1}$ des deux limites, seront

${\begin{alignedat}{4}\delta v\ =&\delta \mathrm {V} _{0}dx&&+\delta \mathrm {V} _{1}dx&&+\delta \mathrm {V} _{2}dx+\ldots &&+\delta \mathrm {V} _{i}dx\\&&&&&&&+\mathrm {V} _{1}\delta x_{1}-\mathrm {V} _{0}\delta x_{0},\\\delta t\ =&\delta \mathrm {T} _{0}dx&&+\delta \mathrm {T} _{1}dx&&+\delta \mathrm {T} _{2}dx+\ldots &&+\delta \mathrm {T} _{i}dx\\&&&&&&&+\mathrm {T} _{1}\delta x_{1}-\mathrm {T} _{0}\delta x_{0},\\\delta w=&\delta \mathrm {W} _{0}dx&&+\delta \mathrm {W} _{1}dx&&+\delta \mathrm {W} _{2}dx+\ldots &&+\delta \mathrm {W} _{i}dx\\&&&&&&&+\mathrm {W} _{1}\delta x_{1}-\mathrm {W} _{0}\delta x_{0},\\\end{alignedat}}$

S’il s’agit du maximum ou du minimum absolu de $v,$ il faudra qu’on ait $\delta v=0\,;$ de plus, les valeurs intermédiaires de $y$ étant tout à fait indépendantes entre elles, il faudra que le coefficient de l’une quelconque de leurs variations dans cette équation $\delta v=0,$ soit séparément égal à zéro ; il en sera de même à l’égard de $z,$ en supposant les deux inconnues $y$ et $z$ indépendantes l’une de l’autre ; et, de cette manière, on déduira de $\delta v=0,$ les deux équations différentielles qui serviront à déterminer $y$ et $z$ en fonctions de $x$ et d’un certain nombre de constantes arbitraires. La considération particulière des éléments extrêmes de $v,$ fournira ensuite comme on l’a vu précédemment (n^o 4), les équations d’où dépendront les valeurs de ces constantes et des limites $x_{0}$ et $x_{1}.$

Mais si l’on demande que $v$ soit un maximum ou un minimum, et qu’en mème temps $t,\,w,$ etc., aient des valeurs données $l,\,m,$ etc., il faudra qu’on ait simultanément

$\delta v=0,\qquad \delta t=0,\qquad \delta w=0,$ etc.

Les variations de toutes les valeurs intermédiaires de $y$ et