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Ce procédé du facteur d’élimination a été employé par Lagrange dans la 22 leçon sur le calcul des fonctions, d’une manière moins directe, mais qui rentre dans la méthode du n^o 9, et que nous allons indiquer en peu de mots.

Soient $\mathrm {V}$ et $\mathrm {T}$ deux fonctions données de $x,\,y,\,y',\,y'',$ etc.; à l’inconnue $y,$ joignons-en une autre $z$ liée à $y$ par l’équation

$z'+\mathrm {T} =0\,;$

et cherchons le maximum et le minimum de $\int _{x_{0}}^{x_{1}}\mathrm {V} dx.$ Pour appliquer à ce problème les formules du n^o 9, il faudra prendre

$\mathrm {L} =z'+\mathrm {T} .$

On aura alors

${\begin{alignedat}{3}\mu =&0,\qquad &\nu =&1,\qquad &\varpi =&0,{\text{ etc}}.,\\\alpha =&{\frac {d\mathrm {T} }{dy}},&\beta =&{\frac {d\mathrm {T} }{dy'}},&\gamma =&{\frac {d\mathrm {T} }{dy''}},{\text{ etc}}.,\\n=&0,&p=&0,&q=&0,{\text{ etc}}.,\\\mathrm {N} =&{\frac {d\mathrm {V} }{dy}},&\mathrm {P} =&{\frac {d\mathrm {V} }{dy'}},&\mathrm {Q} =&{\frac {d\mathrm {V} }{dy''}},{\text{ etc}}.\end{alignedat}}$

La seconde équation (9) se réduira à ${\frac {d\lambda }{dx}}=0\,;$ par conséquent, le facteur $\lambda$ sera une quantité constante ; et en la représentant par $a,$ la première équation (9) deviendra

$\mathrm {N} +a\alpha -{\frac {d(\mathrm {P} +a\beta )}{dx}}+{\frac {d^{2}(\mathrm {Q} +a\gamma )}{dx^{2}}}-{\text{etc}}.=0\,;$

ce qui est évidemment l’équation du maximum ou du minimum absolu de $\int _{x_{0}}^{x_{1}}(\mathrm {V} +a\mathrm {T} )dx.$ Comme l’inconnue $z$ est don-