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et à cause de $dx^{2}+dy^{2}=ds^{2},$ on en déduira

$\omega '={\frac {dx}{ds}}{\frac {d\omega }{ds}}-{\frac {dy}{ds}}\theta ,\qquad \omega _{_{'}}={\frac {dy}{ds}}{\frac {d\omega }{ds}}-{\frac {dx}{ds}}\theta \,;$

$\theta$ étant une variation indéterminée.

Les différentielles $dx$ et $dy$ pourront, comme dans le numéro précédent, changer de signe dans l’étendue des intégrations indiquées, ou d’un point à un autre de la courbe $\mathrm {ABC} \,:$ en observant que les angles $\alpha$ et $\beta$ se rapportent à la partie extérieure $\mathrm {MN}$ de la normale, il est aisé de voir que l’on aura, au point quelconque $\mathrm {M} ,$

$\cos .\alpha =-{\frac {dy}{ds}},\qquad \cos .\beta =-{\frac {dx}{ds}}.$

Je substitue ces valeurs et celles de $\omega '$ et $\omega _{_{'}}$ dans l’équation (6) ; elle devient

${\begin{aligned}\int _{0}^{l}&\mathrm {V} \left({\frac {dx}{ds}}\delta y-{\frac {dy}{ds}}\delta x\right)ds\\&+\int _{0}^{l}\left[\mathrm {\left(Q-T_{_{'}}-{\frac {1}{2}}S'\right)} {\frac {dx}{ds}}-\mathrm {\left(P-R'-{\frac {1}{2}}S_{_{'}}\right)} {\frac {dy}{ds}}\right]\omega \,ds\\&+\int _{0}^{l}\mathrm {\left(T-R\right)} {\frac {dx}{ds}}{\frac {dy}{ds}}{\frac {d\omega }{ds}}ds\\&+\int _{0}^{l}\left[\mathrm {R} {\frac {d^{2}y}{ds^{2}}}+\mathrm {T} {\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}-\mathrm {S} {\frac {dx}{ds}}{\frac {dy}{ds}}\right]\theta \,ds=0.\end{aligned}}$

En intégrant par partie, on a

$\int _{0}^{l}\mathrm {\left(T-R\right)} {\frac {dx}{ds}}{\frac {dy}{ds}}{\frac {d\omega }{ds}}ds=$

$\int _{0}^{l}\left[\left({\frac {d\mathrm {R} }{ds}}-{\frac {d\mathrm {T} }{ds}}\right){\frac {dx}{ds}}{\frac {dy}{ds}}+\mathrm {\left(R-T\right)} {\frac {dxd^{2}y+dyd^{2}x}{ds^{2}}}\right]\omega \,ds\,;$