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et en les multipliant membre à membre et réduisant, il vient

$\mathrm {V} +c(kp-hq)+\mathrm {X} (p-z')+\mathrm {Y} (q-z_{_{'}})=0.\qquad$(12)

Ainsi dans ce quatrième cas, la troisième équation (8) aura lieu, et les deux autres seront remplacées par cette équation (12) jointe à celle de la surface donnée, dont la différentielle est représentée par $dz-p\,dx+q\,dy.$

5^o Enfin, supposons que le plan tangent à la surface demandée puisse toujours varier arbitrairement le long de la courbe extérieure, et que cette courbe ne soit point astreinte à se trouver sur une surface donnée. L’équation $\mathrm {Z} =0$ continuera d’avoir lieu. En écrivant l’équation (12) sous la forme :

$\mathrm {V} +c(kz'-hz_{_{'}})+(\mathrm {X} +ck)(p-z')+(\mathrm {Y} -ch)(q-z_{_{'}})=0,$

multipliant par $dx,$ et mettant $(z_{_{'}}-q)dy$ à la place de $(p-z')dx,$ on aura

$\left[\mathrm {V} +c(kz'-hz_{_{'}})\right]dx+\left[\mathrm {Y} dx-\mathrm {X} dy-c(hdx+kdy)\right](q-z_{_{'}})=0.$

Or, la quantité $q$ est tout-à-fait arbitraire, puisque maintenant la surface qui avait $dz=p\,dx+q\,dy$ pour équation différentielle, n’est pas donnée ; l’équation précédente devra donc se décomposer en deux autres ; et en les joignant à l’équation $\mathrm {Z} =0,$ nous aurons

$\left.{\begin{aligned}&\mathrm {V} +c(kz'-hz_{_{'}})=0,\\&\mathrm {Y} dx-\mathrm {X} dy-c(hdx+kdy)=0,\qquad \\&\mathrm {Z} =0,\end{aligned}}\right\}$ (13)