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Suivant ce que j’ai trouvé dans un autre Mémoire^[1], l’intégrale complète de la seconde équation $(g)$ est

$\zeta =a\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }d\omega +b\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }\log .\left(r\sin .^{2}\omega \right)d\omega \,;$

$a$ et $b$ désignant les deux constantes arbitraires, et $e$ la base des logarithmes népériens. Il est facile, en effet, de vérifier que cette valeur de $\zeta$ satisfait à la seconde équation $(g)\,;$ car on en déduit immédiatement

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\zeta }{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d\zeta }{dr}}&=ac\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }\cos .^{2}\omega \,d\omega -{\frac {a{\sqrt {c}}}{r}}\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }\cos .\omega \,d\omega \\&+bc\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }\cos .^{2}\omega \log .\left(r\sin .^{2}\omega \right)d\omega \\&-{\frac {b{\sqrt {c}}}{r}}\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }\cos .\omega \log .\left(r\sin .^{2}\omega \right)d\omega \\&-{\frac {2b{\sqrt {c}}}{r}}\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }\cos .\omega \,d\omega \,;\end{aligned}}$

par l’intégration par partie, on a

${\frac {\sqrt {c}}{r}}\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }\cos .\omega \,d\omega =-c\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }\sin .^{2}\omega \,d\omega ,$

${\frac {\sqrt {c}}{r}}\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }\cos .\omega \log .\left(r\sin .^{2}\omega \right)d\omega =-{\frac {2{\sqrt {c}}}{r}}\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }\cos .\omega \,d\omega$

$-c\int _{0}^{\pi }e^{-r{\sqrt {c}}\cos .\omega }\sin .^{2}\omega \log .\left(r\sin .^{2}\omega \right)d\omega \,;$

1. Journal de l’École polytechnique, 19^e cahier, page 475.