complète de la propriété des parallèles, s’il n’était pas démontré en même temps que la position d’une des deux droites, par rapport à l’autre, est fixée invariablement par la condition que la somme des deux angles intérieurs est égale à deux angles droits ; de sorte que, s’il y a une différence, quelque petite qu’elle soit, entre la somme des angles et deux angles droits, les deux droites , prolongées suffisamment, soit vers , soit vers , se rencontreront nécessairement et ne seront plus parallèles. C’est cette proposition qui, de tout temps, a exercé la sagacité des géomètres. Il paraît qu’ils en ont cherché inutilement une démonstration satisfaisante et assez simple pour être insérée dans les éléments. Aussi voit-on qu’Euclide a été obligé de supposer ce qu’il ne pouvait démontrer ; c’est
droites devront se rencontrer et ne seront plus parallèles, ce qui est le point de la difficulté.
Il conviendrait de donner plus de précision à la définition des parallèles, en disant qu’on appelle parallèles deux droites qui, étant situées dans un même plan, font, avec une troisième, deux angles intérieurs dont la somme est égale à deux droits.
D’après cette définition, le premier théorème à démontrer serait que deux parallèles ne peuvent se rencontrer, à quelque distance qu’on les prolonge, et ce théorème n’offrirait aucune difficulté.
Ensuite il resterait à démontrer que, lorsque la position de deux droites, par rapport à une troisième, est telle, que la somme des deux angles intérieurs n’est pas égale à deux angles droits, les deux droites, prolongées suffisamment, devront se rencontrer, ce qui sera l’objet d’un nouveau théorème. La difficulté est toujours la même, mais l’ordre des idées est plus simple dans cette seconde définition, et on voit clairement, qu’en partant d’un point donné, il n’y a qu’une droite, passant par ce point, qui pourra être parallèle à une droite donnée.
