nombre de fois suffisant, deviendra plus grande qu’une longueur donnée. On pourra donc supposer la suite des triangles prolongée assez loin pour qu’on ait et ainsi on aurait Or, au contraire, la ligne droite est plus courte que la ligne anguleuse qui joint les mêmes extrémités et de sorte qu’on aura toujours ou Donc l’hypothèse d’où l’on est parti est absurde ; donc la somme des trois angles du triangle ne peut être plus grande que deux angles droits.
3. Cette première proposition étant établie, il restait à prouver que la somme des angles ne peut être plus petite que deux angles droits ; mais nous devons avouer que cette seconde proposition, quoique le principe de sa démonstration fût bien connu[1], nous a présenté des difficultés que nous n’avons pu entièrement résoudre.
C’est ce qui nous a déterminé à revenir, dans la 9e édition, à la marche d’Euclide, et plus tard, dans la 12e, à un autre genre de démonstration dont nous parlerons ci-après.
Ces considérations et beaucoup d’autres, qui naissent de différentes manières d’envisager le même sujet, laissaient peu d’espoir de parvenir à démontrer la théorie des parallèles ou le théorème sur la somme de trois angles du triangle, par des moyens aussi simples que ceux dont on fait usage pour démontrer les autres propositions des Éléments.
Il n’en est pas moins certain que le théorème sur la somme des trois angles du triangle doit être regardé comme l’une
- ↑ Voyez la note II, page 278, de la douzième édition des Éléments de Géométrie.
