Si on applique la même construction au triangle 
pour en former un troisième 
dont les angles, désignés suivant l’ordre de leur grandeur, sont 
on aura les deux égalités 
d’où résulte 
Donc la somme des trois angles est la même dans les trois triangles ; on aura en même temps l’angle 
par conséquent 
et 
ou 
Continuant indéfiniment la suite des triangles 
etc., on parviendra à un triangle 
dans lequel la somme des angles sera la même que dans le triangle proposé 
et qui aura l’angle 
et l’angle 
On pourra supposer que 
est assez grand pour que ces deux derniers angles, exprimés par 
et 
soient plus petits que tout angle donné, et ainsi puissent être considérés comme nuls ; alors la somme des angles du triangle 
se réduira au seul angle 
Mais si on considère un triangle 
dont les deux angles 
et 
sont très-petits, tant que ces angles ne sont pas nuls, le troisième angle 
devra être joint à l’angle extérieur 
pour que la somme des deux fasse deux angles droits ; mais si l’on suppose que les deux angles et 
diminuent de plus en plus, de manière que les côtés 
et 
tournent autour de leurs sommets et pour se rapprocher continuellement du côté immobile 
alors on voit que, lorsque ces angles deviendront tout-à-fait nuls, les deux droites 
et se confondront avec la droite 
en même temps l’angle extérieur 
deviendra nul, et par conséquent l’angle
