seront les carrés des trois côtés du triangle 
au moyen desquels on détermine l’angle 
par la formule
Mais on peut déterminer cet angle par une formule plus simple et qui donnera un résultat numérique plus exact, en partant du principe que l’aire du triangle doit être égale à celle du triangle primitif 
C’est ce qui sera démontré si on fait voir que l’aire du triangle 
est égale à celle du triangle
Or puisque
Fig. 9
la base 
est double de 
le triangle est double du triangle 
ou de son égal 
mais puisque C
est double de 
le triangle 
est aussi double de donc les deux triangles 
ont des aires égales. Il en est de même de deux triangles consécutifs quelconques dans la suite 
etc. Donc l’aire du triangle est égale à celle du triangle donné
Cela posé on aura l’équation 
d’où résulte
Le numérateur de cette quantité est constant, tandis que le dénominateur est le produit de deux côtés 
qui augmentent très-rapidement à mesure que 
augmente, ainsi on voit que 
deviendra bientôt plus petit que toute quantité donnée ; et comme la valeur de 
se réduit en même temps à 
sans aucune différence sensible, on en conclura qu’arrivé à ce point l’angle 
c’est-à-dire que la somme des angles du triangle proposé est égale à deux angles droits.
Appliquons maintenant le calcul numérique à un exemple particulier, et pour en prendre un très-simple, supposons que le triangle est équilatéral et que ses côtés 
sont égaux à l’unité. On déduira d’abord des résultats précédents les trois premiers termes 
ensuite, pour continuer la série indéfiniment, on a l’équation
