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$c$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité. $i$ étant infini, cette exponentielle est nulle, ou se réduit à $c^{-iq}\,:$ en effet, lorsqu’elle n’est pas nulle, $iq$ est une quantité finie, ou infiniment petite, que nous désignerons par $q'\,;$ alors cette exponentielle devient

$c^{-q'}.c^{-{\frac {q^{'2}}{2i}}-{\frac {q^{'3}}{3i^{2}}}-{\text{etc}}.},$

ou $c^{-q'}$ le facteur $c^{-{\frac {q^{'2}}{2i}}-{\frac {q^{'3}}{3i^{2}}}-{\text{etc}}.}$ devenant l’unité, parce que son exposant est infiniment petit.

Il suit de là que $i$ étant un grand nombre, on peut supposer dans l’intégrale précédente, etc.

$\left(1-2.\left(cos.\gamma '-{\sqrt {-1}}.sin.\gamma '\right).cos.\gamma '.sin.^{2}{\frac {1}{2}}\omega \right)^{i}$

$=c^{-2i.cos.\gamma '.\left(cos.\gamma '-{\sqrt {-1}}.sin.\gamma '\right).sin.^{2}{\frac {1}{2}}\omega },$

$\left(1-2.\left(cos.\gamma '+{\sqrt {-1}}.sin.\gamma '\right).cos.\gamma '.sin.^{2}{\frac {1}{2}}\omega \right)^{i}$

$=c^{-2i.cos.\gamma '.\left(cos.\gamma '+{\sqrt {-1}}.sin.\gamma '\right).sin.^{2}{\frac {1}{2}}\omega }\,;$

d’où il est facile de conclure que la fonction $(q),$ dans le cas de $i,$ un nombre pair et très-considérable, devient

${\frac {2}{\pi .(-1)^{\frac {i}{2}}}}.\int d\omega .c^{-2i.cos.^{2}\gamma '.sin.^{2}{\frac {1}{2}}\omega }.cos.\left(i\gamma '+2i.sin.\gamma '.cos.\gamma '.sin.^{2}{\frac {1}{2}}\omega \right),$

et que dans le cas de $i$ impair, cette fonction devient

${\frac {2}{\pi .(-1)^{\frac {i-1}{2}}}}.\int d\omega .c^{-2i.cos.^{2}\gamma '.sin.^{2}{\frac {1}{2}}\omega }.sin.\left(i\gamma '+2i.sin.\gamma '.cos.\gamma '.sin.^{2}{\frac {1}{2}}\omega \right).$

Si l’on a $\lambda =1,$ ce qui donne $\gamma '={\frac {\pi }{2}},$ ces deux quantités