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axes $a,b$ sont le premier parallèle, le second perpendiculaire à l’axe fixe, on aura

${\begin{aligned}A=&4{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}p+b^{2}\sin ^{2}p}},\\S=&\int _{-\pi }^{\pi }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}p+b^{2}\sin ^{2}p}}\,dp\,;\end{aligned}}$

etc.

Deuxième théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent, soient menées par un point du plan $\mathrm {OO'O''}$ $n$ droites qui comprennent entre elles des angles égaux, et nommons $M$ la moyenne arithmétique entre les $n$ valeurs de $A$ correspondantes à ces $n$ droites.

On aura sensiblement, pour de grandes valeurs de $n,$

(2)

$S={\frac {1}{2}}\pi M\,;$

et l’erreur que l’on commettra en prenant le produit ${\frac {1}{2}}\pi M$ pour valeur de $S$ sera inférieure au rapport qui existe entre ce produit et le carré de $n,$ c’est-à-dire, à

(3)

${\frac {1}{2}}{\frac {\pi M}{n^{2}}},$

pourvu que le nombre entier $n$ surpasse $2.$

Démonstration. Ce théorème se déduirait sans peine du précédent, et peut encore se démontrer de la manière suivante

Soit $s$ une longueur rectiligne, $a$ sa projection absolue sur la droite $\mathrm {OO} ',$ et $\mu$ la moyenne arithmétique entre les $n$ valeurs de $a$ qui correspondent aux $n$ droites mentionnées dans le deuxième théorème. $2n\mu$ sera la somme des projections absolues de $s$ sur les $2n$ côtés d’un polygone régulier, parallèles deux à deux à ces mêmes droites ; ou, ce