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Cela posé, il est facile de voir que les équations (7) donneront

(19)

$\left\{{\begin{aligned}&\qquad \qquad f_{0}(x,y,z\ldots )=\\&\qquad e^{t_{0}\varphi _{0}(\alpha ,\beta \ldots )}\operatorname {F} _{0}\left[\alpha ,\beta \ldots \varphi _{0}(\alpha ,\beta \ldots )\right]\psi _{0}(x,y\ldots )+\ldots \\&+e^{t_{0}\varphi _{m-1}(\alpha ,\beta \ldots )}\operatorname {F} _{0}\left[\alpha ,\beta \ldots \varphi _{m-1}(\alpha ,\beta \ldots )\right]\psi _{m-1}(x,y\ldots )\\&+{\frac {\operatorname {F} _{0}(\alpha ,\beta \ldots \theta )}{\operatorname {F} (\alpha ,\beta \ldots \theta )}}f(x,y,z\ldots t_{0}),\\\\&\qquad \qquad f_{1}(x,y,z\ldots )=\\&\qquad e^{t_{0}\varphi _{0}(\alpha ,\beta \ldots )}\operatorname {F} _{1}\left[\alpha ,\beta \ldots \varphi _{0}(\alpha ,\beta \ldots )\right]\psi _{0}(x,y\ldots )+\ldots \\&+e^{t_{1}\varphi _{m-1}(\alpha ,\beta \ldots )}\operatorname {F} _{1}\left[\alpha ,\beta \ldots \varphi _{m-1}(\alpha ,\beta \ldots )\right]\psi _{m-1}(x,y\ldots )\\&+{\frac {\operatorname {F} _{1}(\alpha ,\beta \ldots \theta )}{\operatorname {F} (\alpha ,\beta \ldots \theta )}}f(x,y,z\ldots t_{1}),\end{aligned}}\right.$

tandis que les équations (8) donneront

(20)

$\left\{{\begin{aligned}&\qquad \qquad f_{0}(\mu ,\nu \ldots )=\\&\qquad e^{t_{0}\varphi _{0}(\alpha \mathrm {i} ,\beta \mathrm {i} \ldots )}\operatorname {F} _{0}\left[\alpha \mathrm {i} ,\beta \mathrm {i} \ldots \varphi _{0}(\alpha \mathrm {i} ,\beta \mathrm {i} \ldots )\right]\psi _{0}(\mu ,\nu \ldots )+\ldots \\&+e^{t_{0}\varphi _{m-1}(\alpha \mathrm {i} ,\beta \mathrm {i} \ldots )}\operatorname {F} _{0}\left[\alpha \mathrm {i} ,\beta \mathrm {i} \ldots \varphi _{m-1}(\alpha \mathrm {i} ,\beta \mathrm {i} \ldots )\right]\psi _{m-1}(\mu ,\nu \ldots )\\&+{\frac {\operatorname {F} _{0}(\alpha \mathrm {i} ,\beta \mathrm {i} \ldots \theta )}{\operatorname {F} (\alpha \mathrm {i} ,\beta \mathrm {i} \ldots \theta )}}f(\mu ,\nu \ldots t_{0}),\\&{\text{etc}}\ldots \end{aligned}}\right.$

Les équations (19), dans lesquelles $\alpha ,\beta \ldots$ représentent des caractéristiques, serviront, en vertu des principes établis dans le paragraphe 3^e, à déterminer les fonctions inconnues

$\psi _{0}(x,y\ldots ),\qquad \psi _{1}(x,y\ldots ),\ldots \qquad \psi _{m-1}(x,y\ldots ).$

Les équations (20), dans lesquelles $\alpha ,\beta \ldots \mu ,\nu \ldots$ ($\theta$ excepté) représentent de véritables quantités, serviront à déterminer, de la même manière, les fonctions inconnues

$\psi _{0}(\mu ,\nu \ldots ),\qquad \psi _{1}(\mu ,\nu \ldots ),\ldots \qquad \psi _{m-1}(\mu ,\nu \ldots ),$

qui renfermeront de plus $\alpha ,\beta ,\gamma \ldots .$ Le calcul sera le même dans les deux cas, et on retrouvera les mêmes résultats, soit que l’on substitue les valeurs de $\psi _{0}(\mu ,\nu \ldots ),\,\psi _{1}(\mu ,\nu \ldots )\ldots ,$ dans