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correspondantes à toutes les valeurs possibles de $x,y,z\ldots ,$ il suffira évidemment de transformer chaque expression particulière en une autre, qui ait précisément la même valeur dans les limites prescrites, mais qui devienne constamment nulle, hors de ces limites; puis de faire la somme de toutes les expressions nouvelles ainsi obtenues. Or, la formule de M. Fourier, et une formule semblable que j’ai donnée dans le dix-neuvième cahier du Journal de l’École polytechnique, fournissent le moyen de résoudre complètement les problèmes de ce genre. C'est ce que nous allons faire voir en peu de mots.

Premier problème. Trouver une fonction $\varphi (x)$ qui soit constamment égale à

$f(x)$

entre les limites $x=a,$ $x=b>a,$ et constamment nulle hors de ces limites.

Solution. Il suffira de prendre

(31)

$\varphi (x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{a}^{b}e^{\alpha (x-\mu )\mathrm {i} }f(\mu )d\mu \,d\alpha .$

Si, dans cette formule, on pose

$\mu =a+(b-a)m,$

elle donnera

(32)

$\varphi (x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{1}e^{\alpha \left[x-a-(b-a)m\right]\mathrm {i} }f(a+{\overline {b-a}}.m).(b-a)dm\,d\alpha .$

Ainsi l’intégrale relative à $\mu ,$ qui était prise entre les limites $\mu =a,$ $\mu =b,$ se trouve remplacée par une autre intégrale prise entre les limites $m=0,$ $m=1.$

Deuxième problème. Trouver une fonction $\varphi (x)$ qui soit constamment égale à $f(x)$ entre les limites déterminées par