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$\left.{\begin{array}{ll}{\text{pour}}&x=0\\{\text{et pour}}&x=a\end{array}}\right\}z=0,\quad {\text{quel que soit }}t,$

et de plus, pour $t=0,$

$z={\mathfrak {f}}(x)\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {dz}{dt}}=0,$

entre les limites $x=0,$ $x=a,$ [${\mathfrak {f}}(x)$ désignant une fonction qui s’évanouisse hors de ces limites].

Solution. Dans ce cas, comme on l’a déjà prouvé, on est conduit aux équations

(37)

$z={\frac {1}{2}}\left(e^{\frac {\alpha t}{m}}+e^{-{\frac {\alpha t}{m}}}\right)f(x),$

la valeur de $f(x)$ étant déterminée par les formule

(38)

$\left(e^{a\alpha }-e^{-a\alpha }\right)f(x)=0,\qquad f(x)=-f(-x).$

La première de ces formules pouvant s’écrire comme il suit

$e^{2a\alpha }f(x)=f(x),$

on aura $\varphi (\alpha )=e^{2a\alpha },$ et de plus

${\begin{alignedat}{2}f(x)=&e^{2an\alpha }f(x),&f(x)=&-e^{-2an\alpha }f(-x),\\f(x)=&e^{-2an\alpha }f(x),\qquad &f(x)=&-e^{2an\alpha }f(-x),\end{alignedat}}$

(39)

$f(x)=\left[\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{n}e^{2an\alpha }+\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{n}e^{-2an\alpha }-1\right]\left[{\mathfrak {f}}(x)-{\mathfrak {f}}(-x)\right].$

Cela posé, on trouvera pour déterminer $\rho ,$ l’équation

(40)

$e^{2a\rho \mathrm {i} }=1\qquad {\text{ou}}\qquad \cos 2a\rho =1,$

et la valeur de $\mathbf {Q}$ deviendra

(41)

$\mathbf {Q} =2a$

Comme on aura d’ailleurs

(42)

${\mathfrak {f}}(x)-{\mathfrak {f}}(-x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}\left[e^{\lambda (x-\mu )\mathrm {i} }-e^{\lambda (x+\mu )\mathrm {i} }\right]{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu \,d\lambda ,$

on tirera de la formule (26)