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Alors aussi, pour arriver à l’extrémité de la longueur $r_{p},$ il suffit de porter, à partir de l’extrémité de l’abscisse $x,$ et sur une perpendiculaire à l’axe polaire pris pour axe des $x,$ l’ordonnée $y,$ représentée en grandeur et en direction par la quantité géométrique $\mathrm {i} y.$ En d’autres termes, la quantité géométrique $r_{p}$ est la somme des quantités géométriques $x,\,\mathrm {i} y.$ On a donc

(2)

$r_{p}=x+\mathrm {i} y=r(\cos p+\mathrm {i} \sin p)\,;$

puis, en posant $r=1,$

(3)

$1_{p}=\cos p+\mathrm {i} \sin p.$

On aura de même

(4)

$1_{-p}=\cos p-\mathrm {i} \sin p,$

et par suite

(5)

$\cos p={\frac {1_{p}+1_{-p}}{2}},\qquad \sin p={\frac {1_{p}-1_{-p}}{2\mathrm {i} }}.$

Si l’on désigne à l’aide de la seule lettre $z$ la quantité géométrique $r_{p},$ l’équation (2) donnera

(6)

$z=x+\mathrm {i} y.$

Ainsi toute quantités géométrique $z$ pourra être réduite à la forme $x+\mathrm {i} y,$ $x,y$ étant deux quantités algébriques dont la première sera ce que nous appellerons la partie algébrique de $z.$

troisième note. Séries dont les termes généraux sont des quantités
géométriques, fonctions diverses de ces quantités.

Les règles établies pour la convergence des séries dans mon Analyse algébrique, peuvent être facilement étendues au cas où les termes généraux de ces séries sont des quantités géométriques.

Considérons, pour fixer les idées une série de quantités géométriques

$z^{(0)},\quad z^{(1)},\quad z^{(2)},\ldots \quad z^{(n)},\ldots$

prolongée indéfiniment dans un seul sens. Le terme $z^{(n)}$ correspondant à l’indice $n$ sera le terme général de cette série. Soit d’ailleurs

$s^{(n)}=z^{(0)}+z^{(1)}+\ldots +z^{(n)}$

la somme de $n$ premiers termes. La série sera dite convergente, lorsque, pour des valeurs croissantes de $n,$ la somme $s^{(n)}$ convergera vers une li-