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(30)

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {(a\operatorname {D} _{x}+b\operatorname {D} _{y}+c\operatorname {D} _{z})\left(\operatorname {D} _{x}{\overline {\xi }}+\operatorname {D} _{y}{\overline {\eta }}+\operatorname {D} _{z}{\overline {\zeta }}\right)} \\&=(a\operatorname {D} _{x}+b\operatorname {D} _{y}+c\operatorname {D} _{z})\left(\operatorname {D} _{x}{\overline {\xi }}+\operatorname {D} _{y}{\overline {\eta }}+\operatorname {D} _{z}{\overline {\zeta }}\right)\end{aligned}}\right.$

et

(31)

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {a\operatorname {D} _{z}{\overline {\eta }}-a\operatorname {D} _{y}{\overline {\zeta }}+b\operatorname {D} _{x}{\overline {\zeta }}-b\operatorname {D} _{z}{\overline {\xi }}+c\operatorname {D} _{y}{\overline {\xi }}-c\operatorname {D} _{x}{\overline {\eta }}} \\&=a\operatorname {D} _{z}\eta -a\operatorname {D} _{y}\zeta +b\operatorname {D} _{x}\zeta -b\operatorname {D} _{z}\xi +c\operatorname {D} _{y}\xi -c\operatorname {D} _{x}\eta .\end{aligned}}\right.$

Donc, les fonctions

$a\xi +b\eta +c\zeta ,$

$(a\operatorname {D} _{x}+b\operatorname {D} _{y}+c\operatorname {D} _{z})\left(\operatorname {D} _{x}\xi +\operatorname {D} _{y}\eta +\operatorname {D} _{z}\zeta \right),$

$a\operatorname {D} _{z}\eta -a\operatorname {D} _{y}\zeta +b\operatorname {D} _{x}\zeta -b\operatorname {D} _{z}\xi +c\operatorname {D} _{y}\xi -c\operatorname {D} _{x}\eta ,$

et la fonction symbolique

$\operatorname {D} _{x}^{2}+\operatorname {D} _{y}^{2}+\operatorname {D} _{z}^{2}$

sont toutes isotropes, et l’on pourra en dire autant de la valeur de $\omega$ fournie par l’équation (25), dans laquelle $\mathrm {E,F} ,\Omega$ désignent, comme on l’a dit, trois fonctions entières de la somme $\operatorname {D} _{x}^{2}+\operatorname {D} _{y}^{2}+\operatorname {D} _{z}^{2}$ ces trois dernières fonctions pouvant d’ailleurs être composées ou d’un nombre fini ou d’un nombre infini de termes.

Nous remarquerons, en finissant, qu'il n’est pas absolument nécessaire de supposer, dans les furmules (1), (2) et (25), les coordonnées $\xi ,\eta ,\zeta$ et ${\overline {\xi }},{\overline {\eta }},{\overline {\zeta }}$ comptées à partir de la même origine que toutes les autres. On pourrait, sans inconvénient, supposer que, dans les formules dont il s’agit, $\xi ,\eta ,\zeta$ représentent ou des coordonnées mesurées à partir d’une origine distincte de celle à laquelle se rapportent les coordonnées des points $\mathrm {R}$ et $\mathrm {P} ,$ ou même des déplacements quelconques subis par le point mobile $\mathrm {P}$ au bout d’un temps plus ou moins considérable.