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égaux entre eux. En d’autres termes, il faudra que l’on ait, dans les équations (10),

$\mathrm {K=-K} ,$

par conséquent

(11)

$\mathrm {K} =0.$

De plus, cette condition étant remplie, et les équations (10) étant ainsi réduites aux formules

(12)

$\left\{{\begin{alignedat}{4}\operatorname {D} _{t}^{2}\xi &=\mathrm {E} \xi &&+\mathrm {F} u(u\xi &&+v\eta &&+w\zeta ),\\\operatorname {D} _{t}^{2}\eta &=\mathrm {E} \eta &&+\mathrm {F} v(u\xi &&+v\eta &&+w\zeta ),\\\operatorname {D} _{t}^{2}\zeta &=\mathrm {E} \zeta &&+\mathrm {F} w(u\xi &&+v\eta &&+w\zeta ),\end{alignedat}}\right.$

les seconds membres de ces formules devront coïncider euxmêmes avec les seconds membres des équations (1). Or, cette coïncidence entraînera les six conditions

(13)

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {G} +\operatorname {D} _{u}^{2}\mathrm {H} =&\mathrm {E+F} u^{2},\quad &\mathrm {G} +\operatorname {D} _{v}^{2}\mathrm {H} =&\mathrm {E+F} v^{2},\quad &\mathrm {G} +\operatorname {D} _{w}^{2}\mathrm {H} =&\mathrm {E+F} w^{2},\\\operatorname {D} _{v}\operatorname {D} _{w}\mathrm {H} =&\mathrm {F} vw,&\operatorname {D} _{w}\operatorname {D} _{u}\mathrm {H} =&\mathrm {F} wu,&\operatorname {D} _{u}\operatorname {D} _{v}\mathrm {H} =&\mathrm {F} uv.\end{alignedat}}$

Il reste à examiner quelle est la forme que devront prendre les fonctions $\mathrm {G,H}$ pour satisfaire aux conditions (13).

J’observerai d’abord que, $\mathrm {E,F}$ étant par hypothèse des fonctions du trinôme

$u^{2}+v^{2}+w^{2},$

ou, ce qui revient au même, des fonctions de $h,$ il suffira, pour satisfaire aux conditions (13), de supposer les fonctions symboliques $\mathrm {G,H} ,$ réduites elles-mêmes à des fonctions de $h.$ En effet, dans cette hypothèse, les conditions (13), jointes à la formule (8), donneront

(14)

$\operatorname {D} _{h}^{2}=\mathrm {F} ,$

(15)

$\mathrm {G} +\operatorname {D} _{h}^{2}\mathrm {H} =\mathrm {E} ,$

et se trouveront toutes vérifiées si $\mathrm {G,H}$ vérifient les formules (14) et (15). D'ailleurs, la valeur de $\mathrm {H}$ fournie par l’équation (5)