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de sorte qu’on ait généralement $\delta ^{n}q=\delta .\delta ^{n-1}q.$ De cette manière, l’intégrale complète de l’équation (3) sera évidemment

${\begin{aligned}\varphi &=\mathrm {U} +{\frac {a^{2}t^{2}}{1.2}}\delta \mathrm {U} +{\frac {a^{4}t^{4}}{1.2.3.4}}\delta ^{2}\mathrm {U} +{\frac {a^{6}t^{6}}{1.2.3.4.5.6}}\delta ^{3}\mathrm {U} +{\text{etc}}.\\&+t\mathrm {V} +{\frac {a^{2}t^{3}}{1.2.3}}\delta \mathrm {V} +{\frac {a^{4}t^{5}}{1.2.3.4.5}}\delta ^{2}\mathrm {V} +{\frac {a^{6}t^{7}}{1.2.3.4.5.6.7}}\delta ^{3}\mathrm {V} +{\text{etc}}.\,;\end{aligned}}$

$\mathrm {U}$ et $\mathrm {V}$ étant deux fonctions arbitraires de $x,\,y,\,z.$ Pour obtenir cette intégrale sous forme finie, il s’agit donc d’exprimer, par le moyen des intégrales définies, les sommes des deux séries qui composent la valeur de mais on peut remarquer que la première se déduit de la seconde, en différentiant celle-ci par rapport à $t,$ et en y remplaçant $\mathrm {V}$ par $\mathrm {U} \,;$ ainsi, en faisant

$\mathrm {T} =t\mathrm {V} +{\frac {a^{2}t^{3}}{1.2.3}}\delta \mathrm {V} +{\frac {a^{4}t^{5}}{1.2.3.4.5}}\delta ^{2}\mathrm {V} +{\frac {a^{6}t^{7}}{1.2.3.4.5.6.7}}\delta ^{3}\mathrm {V} +{\text{etc}}.,$

il nous suffira de chercher l’expression de cette quantité $\mathrm {T}$ en intégrales définies.

(4) D’après les analogies connues entre les puissances et les différences, on a

$\delta ^{n}\mathrm {V} =\left(g^{2}+h^{2}+k^{2}\right)^{n}\mathrm {V} ,$

pourvu que, dans le développement du second membre, on regarde les puissances de $g,\,h,\,k,$ comme des signes d’opérations qui indiquent des différentielles relatives à $x,\,y,\,z,$ divisées respectivement par $dx,\,dy,\,dz\,;$ c’est-à-dire que, dans ce développement, un terme quelconque, tel que

$\mathrm {A} g^{i}h^{i'}k^{i''}\mathrm {V} ,$