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au moyen de quoi la valeur précédente de ${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}$ se réduit à

${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=a^{2}t\iint {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}d\omega +a^{2}t\iint {\frac {d^{2}f}{dy^{2}}}d\omega +a^{2}t\iint {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}d\omega \,;$

on a en même temps

${\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=t\iint {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}d\omega +t\iint {\frac {d^{2}f}{dy^{2}}}d\omega +t\iint {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}d\omega \,;$

l’équation (3) est donc satisfaite, quelle que soit la fonction $f,$ par la première partie de la valeur de $\varphi .$

En général, si l’on satisfait à cette équation par une valeur quelconque $\varphi =\mathrm {T} ,$ il est évident, d’après sa forme, qu’on y satisfera également en prenant $\varphi ={\frac {d\mathrm {T} }{dt}}\,;$ d’où l’on peut conclure que la seconde partic de la valeur de $\varphi$ se trouve vérifiée en même temps que la première ; par conséquent sa valeur entière est bien, en effet, l’intégrale complète de l’équation (3).

(6) On sait intégrer cette équation sous forme finie, sans le secours des intégrales définies, dans deux cas particuliers : lorsque $\varphi$ n’est fonction que de $t$ et de l’une des trois variables $x,\,y,\,z,$ de $x,$ par exemple ; et lorsqu’en faisant ${\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=r,$ cette quantité $\varphi$ n’est fonction que de $r$ et de $t.$ Nous allons faire voir dans ces deux cas, que, l’intégrale générale coïncide avec les intégrales connues.

Dans le premier cas, l’équation (3) se réduit à

${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=a^{2}{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}\qquad$(4)

et son intégrale devient

${\begin{aligned}\varphi =\iint f(x&+at\cos .u)t\sin .u\,du\,dv\\&+{\frac {d.}{dt}}\iint \operatorname {F} (x+at\cos .u)t\sin .u\,du\,dv\,;\end{aligned}}$