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Or, si l’on fait, dans ce cas, $f(x,y,z)=f_{r},$ $\operatorname {F} (x,y,z)=\operatorname {F} _{r},$ et, pour abréger,

$(x+at\cos .u)^{2}+(y+at\sin .u\sin .v)^{2}+(z+at\sin .u\cos .v)^{2}$

$=r^{2}+2at(x\cos .u+y\sin .u\sin .v+z\sin .u\cos .v)+a^{2}t^{2}=\rho ^{2},$

les fonctions arbitraires, contenues sous les signes d’intégration dans l’intégrale générale, seront $f_{\rho }$ et $\operatorname {F_{\rho }} ,$ et cette intégrale deviendra

$\varphi =\iint f_{\rho }.t\sin .u\,du\,dv+{\frac {d.}{dt}}\iint \operatorname {F_{\rho }} .t\sin .u\,du\,dv.$

En vertu de l’équation (1), nous aurons

$\iint f_{\rho }.t\sin .u\,du\,dv=2\pi \iint f_{\rho '}.t\sin .\theta \,d\theta ,$

en faisant

$r^{2}+2atr\cos .\theta +a^{2}t^{2}=\rho ^{'2},$

et intégrant depuis $\theta =0$ jusqu’à $\theta =\pi .$ Si l’on différencie cette valeur de $\rho ^{'2}$ par rapport à $\theta ,$ on aura

$-2atr\sin .\theta \,d\theta =2\rho 'd\rho '\,;$

par conséquent, l’équation précédente deviendra

$\iint f_{\rho }.t\sin .u\,du\,dv=-{\frac {2\pi }{ar}}\int f_{\rho '}.\rho 'd\rho '\,;$

donc, en faisant $\rho 'f_{\rho '}d\rho '=d.f_{1}\rho ',$ et observant qu’on a $\rho '=r+at,$ $\rho '=r-at,$ aux deux limites $\theta =0,$ $\theta =\pi ,$ on en conclura

$\iint f_{\rho }.t\sin .u\,du\,dv={\frac {2\pi }{ar}}\left(f_{1}(r+at)-f_{1}(r-at)\right).$

Je substitue la fonction $\operatorname {F}$ à $f\,;$ et en différenciant par rapport à $t,$ il vient

${\frac {d.}{dt}}\iint \operatorname {F_{\rho }} .t\sin .u\,du\,dv={\frac {2\pi }{r}}\left((r+at)\operatorname {F_{1}} (r+at)+(r-at)\operatorname {F_{1}} (r-at)\right).$