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Admettons, pour un moment, que la fonction $\Psi$ soit nulle ; on satisfera à cette dernière équation en prenant $\mathrm {Z} =0\,;$ et alors on aura

$f(x,y)=\operatorname {F} (x,y)={\frac {1}{2\pi }}\psi (x,y).$

Au moyen de ces valeurs des fonctions $f$ et $\operatorname {F} ,$ l’expression générale de la quantité $z$ devient

${\begin{aligned}z=&{\frac {1}{2\pi }}\left(\iint e^{-\alpha ^{2}-\beta ^{2}}\psi \left(x+2\alpha {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}},\ \ \ y+2\beta {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}}\ \ \ \right)d\alpha \,d\beta \right.\\&\left.+\iint e^{-\alpha ^{2}-\beta ^{2}}\psi \left(x+2\alpha {\sqrt {-bt{\sqrt {-1}}}},\,y+2\beta {\sqrt {-bt{\sqrt {-1}}}}\right)d\alpha \,d\beta \right)\,;\end{aligned}}$

ou bien, en faisant disparaître les imaginaires, comme dans le n^o 12, elle se réduit à

$z={\frac {1}{\pi }}\iint sin.\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)\psi \left(x+2\alpha {\sqrt {bt}},\,y+2\beta {\sqrt {bt}}\right)d\alpha \,d\beta .$

Cette valeur particulière de satisfait à l’équation (10), et aux conditions $z=\psi (x,y),$ ${\frac {dz}{dt}}=0,$ quand $t=0\,;$ si l’on y met la fonction $\Psi$ à la place de $\psi ,$ qu’on la multiplie par $dt,$ et qu’on en prenne l’intégrale par rapport à $t,$ de manière qu’elle s’évanouisse quand $t=0,$ on aura une autre valeur particulière de $z,$ qui, d’après la forme de l’équation (10), satisfera encore à cette équation, et qui donnera $z=0,$ ${\frac {dz}{dt}}=\Psi (x,y),$ quand $t=0\,;$ réunissant donc ces deux valeurs particulières de $z,$ nous aurons sa valeur complète, savoir :

${\begin{aligned}z&={\frac {1}{\pi }}\iint sin.(\alpha ^{2}+\beta ^{2})\psi \left(x+2\alpha {\sqrt {bt}},\,y+2\beta {\sqrt {bt}}\right)d\alpha \,d\beta \\&+{\frac {1}{\pi }}\iiint sin.(\alpha ^{2}+\beta ^{2})\Psi \left(x+2\alpha {\sqrt {bt}},\,y+2\beta {\sqrt {bt}}\right)d\alpha \,d\beta \,dt.\end{aligned}}$

Si l’on change, comme précédemment (n^o 12), les va-