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et par suite

$z={\frac {1}{2\pi \,b{\sqrt {-1}}}}\left(\iint e^{-\alpha ^{2}}e^{-\beta ^{2}}\Pi \left(x+2\alpha {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}}+y{\sqrt {-1}}+2\beta {\sqrt {-bt{\sqrt {-1}}}}\right)d\alpha \,d\beta \right.$

$-\left.\iint e^{-\alpha ^{2}}e^{-\beta ^{2}}\Pi \left(x+2\alpha {\sqrt {-bt{\sqrt {-1}}}}+y{\sqrt {-1}}+2\beta {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}}\right)d\alpha \,d\beta \right)\,;$

or, en échangeant entre elles les lettres $\alpha$ et $\beta$ dans la seconde intégrale, ce qui est permis, on voit que ces deux intégrales sont identiquement les mêmes ; par conséquent, la partie de la valeur de $z,$ qui répond à la fonction $\Pi ,$ est égale à zéro. Il en serait de même à l’égard de la fonction $\Pi '\,;$ ainsi, en substituant les valeurs de $f$ et $\operatorname {F}$ dans l’expression de $z,$ il suffira de tenir compte du terme de $\mathrm {Z}$ qui renferme la fonction $\Psi .$

(17) Cette substitution donne, pour résultat immédiat, une valeur de $z$ composée de deux intégrales sextuples, qui different l’une de l’autre par le signe de ${\sqrt {-1}},$ et qui se rapportent aux variables $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,h,\,p$ et $q\,;$ mais nous allons voir que leur somme se réduit à une intégrale triple, relative à $p$ et $q,$ et à la variable $t.$

D’abord, les limites étant $\pm {\frac {1}{0}},$ on a, par les formules connues,

${\begin{aligned}\int e^{-\alpha ^{2}}cos.g\left(x+2\alpha {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}}-p\right)d\alpha &={\sqrt {\pi }}cos.g(x-p)e^{-bgt{\sqrt {-1}}},\\\int e^{-\beta ^{2}}cos.h\left(y+2\beta {\sqrt {bt{\sqrt {-1}}}}-q\right)d\beta &={\sqrt {\pi }}cos.h(y-q)e^{-bht{\sqrt {-1}}}.\end{aligned}}$

Je fais le produit de ces deux quantités ; j’y change ensuite