Il arrive même quelquefois que ces expressions sont plus appropriées à la solution de certains problêmes, que ne le seraient les intégrales sous forme finie. Ainsi, par exemple, dans la théorie des ondes, lorsqu’on ne considère la propagation du mouvement que dans un seul sens horizontal, l’équation du mouvement du fluide se réduit à
son intégrale, proprement dite, est
mais il serait difficile de la faire servir à déterminer les lois de cette propagation ; et l’on est obligé, pour cet objet, de recourir à l’expression de développée en série d’exponentielles réelles ou imaginaires. Il existe des théorêmes au moyen desquels on peut introduire, dans les expressions de cette nature, des fonctions arbitraires qui représentent l’état initial du fluide, ou généralement, du système de points matériels que l’on considère ; la difficulté de la question consiste ensuite à discuter les formules qui en résultent, et à y découvrir toutes les lois du phénomène dont on s’occupe. La théorie des ondes offre, ce me semble, jusqu’à présent, l’exemple le plus complet d’une semblable discussion.
2o Dans différents cas particuliers, ces expressions (a) ou (b), conduisent, par des transformations convenables, aux intégrales sous forme finie. Cette remarque a déja été faite par plusieurs géomètres ; et c’est aussi sur un moyen semblable, qu’est fondée la méthode de Lagrange pour intégrer les équations linéaires aux différences finies et partielles.
