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aurons les deux sommes $\sum$ qui entrent dans la valeur de $\varphi ,$ exprimées au moyen de ces fonctions $f$ et $\operatorname {F} \,;$ et en substituant leurs expressions dans celle de $\varphi ,$ elle deviendra définitivement

${\begin{aligned}\varphi =&\iint f\left(x+at\,cos.u,\,y+at\,sin.usin.v,\,z+at\,sin.ucos.v\right)t\,sin.u\,du\,dv\\+&{\frac {d.}{dt}}\iint \operatorname {F} \left(x+at\,cos.u,\,y+at\,sin.usin.v,\,z+at\,sin.ucos.v\right)t\,sin.u\,du\,dv\,;\end{aligned}}$

résultat identique avec celui que nous avons trouvé précédemment, en suivant une marche différente.

Si, au lieu de quatre variables indépendantes $t,\,x,\,y,\,z,$ l’équation (c) en contenait un plus grand nombre, et qu’elle fut toujours de la même forme :

${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=a^{2}\left({\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\text{etc}}.\right),$

on pourrait encore l’intégrer par la méthode précédente ; mais la valeur de $\varphi$ serait exprimée par des intégrales quadruples, dans le cas de cinq ou de six variables, sextuples, dans le cas de sept ou de huit, et ainsi de suite.