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font connaître, et qui, dépendant comme $q$ et $\mathrm {D}$ de la loi de densité des couches du sphéroïde terrestre, sont liés aux quantités précédentes. L’un de ces éléments est l’ellipticité du sphéroïde. Si l’on nomme $h$ l’ellipticité de la couche du sphéroïde dont le rayon est $a,$ et la densité $\rho \,;$ on a, par le n^o 30 du livre cité,

${\frac {d\,dh}{da^{2}}}-{\frac {6h}{a^{2}}}+{\frac {2\rho \,a}{\int \rho \,a^{2}da}}.{\frac {a\,dh+h\,da}{da}}=0.$

Si l’on met cette équation sous la forme

$0={\frac {d^{2}.\left(h.\int \rho \,a^{2}da\right)}{da^{2}}}-{\frac {6h\int \rho \,a^{2}da}{a^{2}}}-{\frac {ha^{2}d\rho }{da}}\,;$

et si, au lieu de $\qquad {\frac {d\rho }{da}},$

on substitue sa valeur ${\frac {-n^{2}}{a^{2}}}.\int \rho \,a^{2}da,$

on aura

$0={\frac {d^{2}.\left(h.\int \rho 'a\,da\right)}{da^{2}}}-{\frac {6h\int \rho 'a\,da}{a^{2}}}+n^{2}h.\int \rho '.a\,da.$

Il est facile de voir que l’on satisfait à cette équation, en faisant

$h.\int \rho '.a\,da=\mathrm {B} \rho '.\left(1-{\frac {3}{n^{2}a^{2}}}\right)+{\frac {3\mathrm {B} .d\rho '}{n^{2}a.da}}\,;$

$\mathrm {B}$ étant une arbitraire, et en observant que ${\frac {d\,d\rho '}{da^{2}}}=-n^{2}\rho '.$ Cette expression donne, en substituant pour $\rho '$ sa valeur $\mathrm {A} .sin.an,$

$h=\mathrm {B} .\left({\frac {n^{2}.tang.an}{tang.an-na}}-{\frac {3}{a^{2}}}\right)\,;$

expression qui devient nulle au centre. On voit par le n^o 30 du livre cité, que cette expression de $h$ est la seule admis-