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et enfin ${\sqrt {\pm {\sqrt {\left(\pm {\sqrt {-1}}\right)}}}}$ est l’expression des huit racines primitives de $x^{16}-1=0,$ et par conséquent correspond aux huit racines primitives de $17.$

Or, $-1=-1+17=16\,;$ donc $\pm {\sqrt {-1}}=\pm 4\,;$

donc ${\sqrt {\left(\pm {\sqrt {-1}}\right)}}=\pm 2$ et $\pm 2{\sqrt {-1}}\,;$

enfin ${\sqrt {\sqrt {\sqrt {-1}}}}=\pm {\sqrt {2}},\quad \pm {\sqrt {-2}},\quad \pm {\sqrt {\left(2{\sqrt {-1}}\right)}},\quad \pm {\sqrt {\left(-2{\sqrt {-1}}\right)}}:$

or,

${\sqrt {2}}=\pm 6,\quad {\sqrt {-2}}=\pm 7,\quad {\sqrt {\left(2{\sqrt {-1}}\right)}}=\pm 12,\quad {\sqrt {\left(-2{\sqrt {-1}}\right)}}=\pm 14.$

et l’on a pour les huit racines primitives de $17$ :

$\pm 6,\quad \pm 7,\quad \pm 12,\quad \pm 14,$

ou plus simplement :

$\pm 6,\quad \pm 7,\quad \pm 5,\quad \pm 3.$

VII. Soit $p=19,$ on aurait $x^{18}-1=0\,;$ d’où, en écartant les racines qui appartiennent aux équations $x^{9}-1=0$ et $x^{5}+1=0$ il vient l’équation $x^{6}-x^{3}+1=0,$ qui renferme les racines primitives de $x^{18}-1=0,$ et qui nous donne ainsi :

$x={\sqrt[{3}]{\left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {-3}}{2}}\right)}}$

pour l’expression générale des racines primitives de $19.$

Autrement : comme on a $18=2.3.3,$ considérez l’équation

$x^{2}-1=0,$

dont la racine primitive est $-1\,;$ considérez ensuite l’équation

$x^{3}-1=0,$